Odpowiedź:
6. D.
7. C.
8. x = -4
Szczegółowe wyjaśnienie:
Zad.6
D. x(5x² - 4x - 1) = 0
podstawiamy x = -5:
L = -5 · (5 · (-5)² - 4 · (-5) - 1) = -5 · (5 · 25 + 20 - 1) = -5 · (125 + 19)
= - 5 · 144 = -720
P = 0
L ≠ P
Zad.7
w(x) = x⁴ + 3x³ - 8x² - 12x + 16 = x⁴ - 8x² + 16 + 3x³ - 12x
= (x²)² - 2 · x² · 4 + 4² + 3x(x² - 4)
stosujemy wzór skróconego mnożenia: (a - b)² = a² - 2ab + b²
= (x² - 4)² + 3x(x² - 4) = (x² - 4)(x² - 4 + 3x) = (x² - 2²)(x² + 4x - x - 4)
stosujemy wzór skróconego mnożenia: (a - b)(a + b) = a² - b²
= (x - 2)(x + 2)[x(x + 4) - 1(x + 4)] = (x - 2)(x + 2)(x + 4)(x - 1)
Z postaci iloczynowej tego wielomianu wnioskujemy, że jest on podzielny przez dwumiany:
x - 2, x + 2, x + 4 i x - 1
Czyli nie jest podzielny przez dwumian (x - 4) ⇒ C.
Zad.8
w(z) = 2x³ + 2x² - 23x + 4
Możliwe pierwiastki całkowite: { ±4, ±2, ±1} - dzielniki wyrazu wolnego.
Sprawdzamy
x = -4
w(-4) = 2 · (-4)³ + 2 · (-4)² - 23 · (-4) + 4 = 2 · (-64) + 2 · 16 + 92 + 4
= -128 + 32 + 92 + 4 = 0
Czyli liczba -4 jest pierwiastkiem tego wielomianu.
x = -4
Na mocy twierdzenia Bézouta, wielomian w(x) jest podzielny przez dwumian (x + 4).
Dzielenie wykonamy schematem Hornera (załącznik).
Czyli:
w(x) = (x + 4)(2x² - 6x + 1)
Znajdujemy pozostałe miejsca zerowe:
2x² - 6x + 1 = 0
a = 2, b = -6, c = 1
Δ = b² - 4ac
Δ = (-6)² - 4 · 2 · 1 = 36 - 8 = 28
√Δ = √28 = √(4 · 7) = 2√7
x₁ = (-b - √Δ)/(2a)
x₂ = (-b + √Δ)/(2a)
x₁ = (-(-6) - 2√7)/(2 · 2)
x₁ = (6 - 2√7)/4
x₁ = (3 - √7)/2
x₂ = (-(-6) + 2√7)/(2 · 2)
x₂ = (6 + 2√7)/4
x₂ = (3 + √7)/2
-4 < (3 - √7)/2 < (3 + √7)/2
