III prawo Keplera w praktyce
Na podstawie tabeli, możemy obliczyć, że masa Jowisza wynosi:
[tex]M=1,89*10^{27} kg[/tex]
Na początku warto przypomnieć sobie treść III prawa Keplera i wzór jaki z tego prawa wynika: "Sześciany półosi wielkich orbit dowolnych dwóch planet mają się do siebie jak kwadraty ich okresów obiegu":
[tex]\frac{T^{3} }{a^{2} } = const[/tex]
Jednak aby rozwiązać to zadanie należy znaleźć stałą dla III prawa Keplera. Aby to zrobić musimy przyjąć, że satelity poruszają się po okręgach, wielkie półosie są promieniami tych okręgów, a ten ruch jest powodowany siłą dośrodkową w postaci siły grawitacji.
[tex]F=\frac{GMm}{r^{2} }[/tex] - siła grawitacji
[tex]F=\frac{mv^{2} }{r}[/tex] - siła dośrodkowa
Przyrównując te dwie siły do siebie i skracając co się da, dostajemy:
[tex]\frac{GM}{r} = v^{2}[/tex]
Teraz aby "pozbyć się" nieznanej nam prędkości korzystamy z zależności pomiędzy prędkością liniową a prędkością kątową oraz definicją prędkości kątowej:
v=ω*r
ω=[tex]\frac{2\pi }{T}[/tex]
Wstawiając to do wzoru powyżej dostajemy:
[tex]\frac{GM}{r^{3} } = \frac{4\pi ^{2} }{T^{2} }[/tex]
A zamieniając lekko równanie stronami otrzymujemy finalnie:
[tex]\frac{T^{2} }{r^{3} } = \frac{4\pi ^{2} }{GM} = const[/tex]
Teraz znamy dokładną interpretację stałej dla III prawa Keplera w danym układzie. Stosując ten wzór dla ciał w układzie księżyce-Jowisz dostajemy prosty wzór na masę Jowisza [M]:
[tex]M=\frac{4\pi ^{2}r^{3} }{GT^{2} }[/tex]
G jest stałą grawitacji która wynosi:
[tex]G=6,67*10^{-11} \frac{Nm^{2} }{kg^{2} }[/tex]
T oraz r musimy odczytać z tabelki dla któregokolwiek z księżyców. Ja wybieram do tego np. Io:
[tex]T=1,77*24*3600s[/tex]
[tex]r=421*10^{6} m[/tex]
Teraz posiadamy wszystko aby obliczyć masę Jowisza:
[tex]M=\frac{4\pi ^{2}r^{3} }{GT^{2} }= \frac{4*3,14^{2}*(421*10^{6})^{3} }{6,67*10^{-11} *(1,77*24*3600)^{2} }} = 1,89*10^{27} kg[/tex]
