Pole trójkąta [tex]ABC[/tex] wynosi [tex]24[/tex].
Wyznaczenie pola trójkąta ABC.
W pierwszej kolejności obliczymy długość odcinków na jakie podzieliła środkowa [tex]AD[/tex] bok [tex]BC[/tex].
W tym celu wprowadźmy oznaczenia takie jak na rysunku (załącznik).
Teraz możemy dwukrotnie zastosować twierdzenie cosinusów dla trójkątów [tex]ABD[/tex] oraz [tex]ADC[/tex], dostajemy odpowiednio:
[tex]6^2=4^2+x^2-2\cdot4\cdot x\cdot\cos\alpha\\20=x^2-8x\cos\alpha\qquad (1)[/tex]
oraz:
[tex]10^2=4^2+x^2-2\cdot4\cdot x\cdot\cos(180^\circ-\alpha)\\84=x^2+8x\cos\alpha \qquad (2)[/tex]
Dodając stronami równania [tex](1)[/tex] i [tex](2)[/tex] redukuje się składnik [tex]8x\cos\alpha[/tex] i dostajemy w rezultacie:
[tex]104=2x^2\\52=x^2\\x=2\sqrt{13}[/tex]
Z tego miejsca można wstawić otrzymaną wartość np. do równania [tex](1)[/tex], obliczyć wartość wyrażenia [tex]\cos\alpha[/tex], a następnie [tex]\sin\alpha[/tex], skąd moglibyśmy obliczyć pole trójkąta [tex]ABC[/tex] jako suma pól trójkątów [tex]ABD[/tex] i [tex]ADC[/tex] lub podwojone pole jednego z nich korzystając ze wzoru [tex]P=\frac{1}{2}ab\sin\gamma[/tex] (środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty, które mają równe pola).
Z drugiej strony zauważmy, że w trójkącie [tex]ABD[/tex] zachodzi:
[tex]|AB|^2+|AD|^2=52=(2\sqrt{13})^2=|BD|^2[/tex], z czego wynika, że ten trójkąt jest prostokątny oraz posiada kąt prosty przy wierzchołku [tex]A[/tex] (choć rysunek pomocniczy tego nie oddaje).
Stąd dostajemy: [tex]P_{ABC}=2P_{ABD}=2\cdot\frac{1}{2}\cdot4\cdot6=24[/tex].
