Odpowiedź:
a) x₁ = (1 - √3)/2 i x₂ = (1 + √3)/2
b) x₁ = (1 - √5)/4 i x₂ = (1 + √5)/4
c) x₁ = 2 - 2√2 i x₂ = 2 + 2√2
Szczegółowe wyjaśnienie:
Miejsce zerowe funkcji, jest to taki argument (x), dla którego wartość funkcji (y) wynosi 0.
W interpretacji geometrycznej, jest to miejsce przecięcia wykresu funkcji z osią OX.
W każdym z przykładów mamy do rozwiązania równanie y = 0.
Mając równanie kwadratowe postaci ax² + bx + c = 0.
Liczba rozwiązań takiego równania jest zależna od wartości wyróżnika trójmianu kwadratowego Δ = b² - 4ac.
Jeżeli Δ < 0, to równanie nie posiada rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych (funkcja nie ma miejsc zerowych).
Jeżeli Δ = 0, t równanie ma jedno rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych (funkcja posiada jedno miejsce zerowe) postaci
x = -b/2a.
Jeżeli Δ > 0, to równanie posiada dwa różne rozwiązania w zbiorze liczb rzeczywistych (funkcja posiada dwa miejsca zerowe) postaci
x₁ = (-b - √Δ)/2a, x₂ = (-b + √Δ)/2a
a)
y = 2x² - 2x - 1
2x² - 2x - 1 = 0
a = 2, b = -2, c = -1
Δ = (-2)² - 4 · 2 · (-1) = 4 + 8
Δ = 12
√Δ = √12 = √(4 · 3) = 2√3
x₁ = (-(-2) - 2√3)/(2 · 2)
x₁ = (2 - 2√3)/4 /skracamy przez 2
x₁ = (1 - √3)/2
x₂ = (-(-2) + 2√3)/(2 · 2)
x₂ = (2 + 2√3)/4 /skracamy przez 2
x₂ = (1 + √3)/2
b)
y = 4x² - 2x - 1
4x² - 2x - 1 = 0
a = 4, b = -2, c = -1
Δ = (-2)² - 4 · 4 · (-1) = 4 + 16
Δ = 20
√Δ = √20 = √(4 · 5) = 2√5
x₁ = (-(-2) - 2√5)/(2 · 4)
x₁ = (2 - 2√5)/8 /skracamy przez 2
x₁ = (1 - √5)/4
x₂ = (-(-2) + 2√5)/(2 · 4)
x₂ = (2 + 2√5)/8 /skracamy przez 2
x₂ = (1 + √5)/4
c)
y = x² - 4x - 4
x² - 4x - 4 = 0
a = 1, b = -4, c = -4
Δ = (-4)² - 4 · 1 · (-4) = 16 + 16
Δ = 32
√Δ = √32 = √(16 · 2) = 4√2
x₁ = (-(-4) - 4√2)/(2 ·1)
x₁ = (4 - 4√2)/2 /skracamy przez 2
x₁ = 2 - 2√2
x₂ = (-(-4) + 4√2)/(2 · 1)
x₂ = (4 + 4√5)/2 /skracamy przez 2
x₂ = 2 + 2√2
