Odpowiedź:
1. Rosnący
2. Malejący
3. Rosnący
4. Rosnący
Szczegółowe wyjaśnienie:
Monotoniczność ciągu.
Ciąg może być:
malejący - gdy każdy następny wyraz ciągu jest mniejszy od poprzedniego
stały - gdy wszystkie wyrazy ciągu są takie same
rosnący - gdy każdy następny wyraz ciągu jest większy od poprzedniego
niemonotoniczny - nie jest ani malejący, ani stałym, ani rosnący.
W związku z tym mamy:
aₙ₊₁ - aₙ < 0 ⇒ ciąg malejący
aₙ₊₁ - aₙ = 0 ⇒ ciąg stały
aₙ₊₁ - aₙ > 0 ⇒ ciąg rosnący
W każdym z ciągów budujemy kolejny wyraz (aₙ₊₁) i badamy znak różnicy aₙ₊₁ - aₙ.
aₙ = 2n - 3
aₙ₊₁ = 2(n + 1) - 3
aₙ₊₁ = 2n + 2 - 3
aₙ₊₁ = 2n - 1
aₙ₊₁ - aₙ = (2n - 1) - (2n - 3)
aₙ₊₁ - aₙ = 2n - 1 - 2n + 2
aₙ₊₁ - aₙ = 1 > 0
ciąg rosnący
aₙ = 2 - 4n
aₙ₊₁ = 2 - 4(n + 1)
aₙ₊₁ = 2 - 4n - 4
aₙ₊₁ = -4n - 2
aₙ₊₁ - aₙ = (-4n - 2) - (2 - 4n)
aₙ₊₁ - aₙ = -4n - 2 - 2 + 4n
aₙ₊₁ - aₙ = -4 < 0
ciąg malejący
aₙ = (n + 1)/(n + 2)
aₙ₊₁ = (n + 1 + 1)/(n + 1 + 2)
aₙ₊₁ = (n + 2)/(n + 3)
aₙ₊₁ - aₙ = (n + 2)/(n + 3) - (n + 1)/(n + 2)
aₙ₊₁ - aₙ = [(n + 2)(n + 2) - (n + 1)(n + 3)]/[(n + 3)(n + 2)]
aₙ₊₁ - aₙ = (n² + 2n + 2n + 4 - n² - 3n - n - 3)/[(n + 3)(n + 2)]
aₙ₊₁ - aₙ = 1/[(n + 3)(n + 2)] > 0
ponieważ (n + 3) > 0 i (n + 2) > 0, stąd (n + 3)(n + 2) > 0
ciąg rosnący
aₙ = (2n - 1)/(n + 3)
aₙ₊₁ = [(2(n + 1) - 1]/(n + 1 + 3)
aₙ₊₁ = (2n + 2 - 1)/(n + 4)
aₙ₊₁ = (2n + 1)/(n + 4)
aₙ₊₁ - aₙ = (2n + 1)/(n + 4) - (2n - 1)/(n + 3)
aₙ₊₁ - aₙ = [(2n + 1)(n + 3) - (2n - 1)(n + 4)]/[(n + 4)(n + 3)]
aₙ₊₁ - aₙ = (2n² + 6n + n + 3 - 2n² - 8n + n + 4)/[(n + 4)(n + 3)]
aₙ₊₁ - aₙ = 7/[(n + 4)(n + 3)] > 0
ciąg rosnący
