W połowie długości równi prędkość wózka była równa (B) [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}v[/tex], a jego energia mechaniczna była wtedy (D) taka sama, jak na początku równi pochyłej.
Ruch ciała na równi pochyłej
Ruch wózka w zadaniu jest ruchem przyśpieszonym na równi pochyłej. Oznaczmy sobie przyśpieszenie wózka jako [tex]a[/tex], a długość równi (czyli drogę przebytą przez wózek) jako [tex]s[/tex]. Mamy podane w treści, że po przebyciu drogi [tex]s[/tex] wózek osiągnął prędkość [tex]v[/tex]. Wyznaczymy teraz prędkość wózka w połowie równi pochyłej, czyli po przebyciu przez wózek drogi [tex]\frac{1}{2}s[/tex].
Prędkość w ruchu przyśpieszonym możemy policzyć ze wzoru:
[tex]v=at[/tex]
gdzie:
Nie mamy nigdzie informacji na temat czasu trwania ruchu, zatem musimy go wyznaczyć z innego wzoru. Najwygodniej jest to zrobić ze wzoru na drogę:
[tex]s=\frac{at^2}{2}[/tex].
Po przekształceniach dostajemy:
[tex]t=\sqrt{\frac{2s}{a}}[/tex].
Podstawmy go do wzoru na prędkość w miejsce [tex]t[/tex]. Dostajemy:
[tex]v=a\sqrt{\frac{2s}{a}}=\sqrt2a\sqrt{\frac{s}{a}}[/tex].
To jest wartość prędkości osiągnięta przez wózek na końcu równi zapisana za pomocą wprowadzonych oznaczeń drogi i przyśpieszenia.
Wyznaczmy teraz prędkość wózka w połowie równi pochyłej. Podstawimy wartość [tex]\frac{1}{2}s[/tex] zamiast [tex]s[/tex] do wzoru na [tex]v[/tex].
[tex]v_1=a\sqrt{\frac{2*\frac{1}{2}s}{a}}=a\sqrt{\frac{s}{a}}[/tex]
Podzielimy jeszcze wzór na [tex]v[/tex] przez [tex]\sqrt2[/tex], wtedy dostaniemy taką samą wartość prawej strony równania, jak przy [tex]v_1[/tex], i będziemy mogli te wartości porównać.
[tex]\frac{1}{\sqrt2}v=a\sqrt{\frac{s}{a}}[/tex].
Porównajmy [tex]v[/tex] i [tex]v_1[/tex]:
[tex]v_1=\frac{1}{\sqrt2}v[/tex],
więc dostajemy odpowiedź B.
Energia mechaniczna ciała
W całym ruchu energia mechaniczna ciała jest stała. Na górze równi ciało ma tylko energię potencjalną, na dole równi - tylko energię kinetyczną. Podczas ruchu energia potencjalna zamienia się na energię kinetyczną, ale ich suma jest ciągle równa wartości energii potencjalnej przed rozpoczęciem ruchu. Zatem energia mechaniczna wózka w połowie równi jest taka sama, jak na początku (D).