Szczegółowe wyjaśnienie:
Postać ogólna funkcji kwadratowej:
f(x) = ax² + bx + c
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej:
f(x) = a(x - p)² + q
(p, q) - współrzędne wierzchołka
p = -b/2a, q = f(p) = (-b² + 4ac)/4a
Postać iloczynowa funkcji kwadratowej:
f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)
x₁, x₂ - miejsca zerowe funkcji
Zbiór wartości funkcji kwadratowej:
Gdy a < 0:
ZW = (-∞, p>
Gdy a > 0:
ZW = <p, ∞)
Oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej:
x = p
Z rysunku możemy odczytać:
1. Punkt przecięcia wykresu z osią OY: (0, 2)
2. Współrzędne wierzchołka paraboli: (2, -2)
Z 1.
Z postaci ogólnej liczymy f(0) = 1
1 = a · 0² + b · 0 + c
c = 1
Z 2.
p = -b/2a ⇒ -b/2a = 2 |·2a
4a = -b |+b
4a + b = 0
q = f(p) ⇒ f(2) = -2
-2 = a · 2² + b · 2 + 1
-2 = 4a + 2b + 1 |-1
4a + 2b = -3
otrzymujemy układ równań, który rozwiążemy metodą przeciwnych współczynników:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}4a+b=0\\4a+2b=-3&|\cdot(-1)\end{array}\right\\\underline{+\left\{\begin{array}{ccc}4a+b=0\\-4a-2b=3\end{array}\right}\\.\qquad-b=3\qquad|\cdot(-1)\\.\qquad b=-3[/tex]
podstawiamy do pierwszego równania:
4a + (-3) = 0
4a - 3 = 0 |+3
4a = 3 |:4
a = 3/4
Stąd mamy postać ogólną:
f(x) = 3/4x² - 3x + 1
Postać kanoniczna:
f(x) = 3/4(x - 2)² - 2
Do postaci iloczynowej potrzebne nam są miejsca zerowe.
Rozwiązujemy równanie:
f(x) = 0
3/4x² - 3x + 1 = 0 |·4
3x² - 12x + 4 = 0
Δ = (-12)² - 4 · 3 · 4 = 144 - 48 = 96
√Δ = √96 = √(16 · 6) = 4√6
x₁ = (-b - √Δ)/(2a), x₂ = (-b + √Δ)/(2a)
x₁ = (-(-12) - 4√6)/(2 · 3) = (12 - 4√6)/6
x₁ = (6 - 2√6)/3
x₂ = (6 + 2√6)/3
Postać iloczynowa:
f(x) = 3/4(x - (6 - 2√6)/3)(x + (6 + 2√6)/3)
Zbiór wartości:
a = 3/4 > 0. Stąd:
ZW = <-2, ∞)
Oś symetrii:
x = 2
