Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest od pola powierzchni bocznej graniastosłupa o 28 cm² większe.
Objętość prostopadłościanu jest od objętości graniastosłupa o 1/16 mniejsza.
Skąd to wiadomo?
Obie bryły wraz z oznaczeniami zostały przedstawione na rysunku w załączniku.
Krok 1
Ściany boczne graniastosłupa tworzą cztery prostokąty:
Podstawę tworzy natomiast prostokąt o wymiarach 5 cm x 6 cm.
Wzór na pole prostokąta:
P = a · b, gdzie a i b to długości boków.
Pole powierzchni całkowitej wynosi zatem:
P = 2 · 5 · 8 + 2 · 6 · 8 + 2 · 5 · 6 = 80 + 96 + 60 = 236 (cm²)
Krok 2
Ściany boczne graniastosłupa to prostokąty o wymiarach:
Pole powierzchni bocznej graniastosłupa wynosi zatem:
P = 11 · 8 + 3 · 5 · 8 = 88 + 120 = 208 (cm²)
Krok 3
236 cm² - 208 cm² = 28 cm²
O tyle pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest większe od pola powierzchni bocznej graniastosłupa.
Krok 4
Wzór na objętość prostopadłościanu to iloczyn pola podstawy i wysokości.
V = 6 · 5 · 8 = 240 (cm³)
Krok 5
Objętość graniastosłupa oblicza się z tego samego wzoru, przy czym w podstawie graniastosłupa znajduje się trapez równoramienny. Wzór na pole trapezu:
P = (a + b) · h ÷ 2, gdzie a i b to długości podstaw, a h - wysokość.
W zadaniu nie została podana wysokość trapezu, ale można ją obliczyć z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta AED:
a² + b² = c², gdzie a i b to przyprostokątne, a c - przeciwprostokątna.
Wiemy, że odcinek AB ma długość 11 cm, zaś odcinek DC jest równy odcinkowi EF i wynosi 5 cm. A zatem odcinek AE i odcinek BF są sobie równe i mają długość po 3 cm, ponieważ (11 cm - 5 cm) ÷ 2 = 6 cm ÷ 2 = 3 cm.
Wykorzystujemy teraz twierdzenie Pitagorasa:
a² + 3² = 5²
a² = 25 - 9
a² = 16
a = 4 (cm)
I to jest właśnie wysokość trapezu ABCD.
V = [(5 + 11) · 4 ÷ 2] · 8 = 32 · 8 = 256 (cm³)
Krok 6
256 cm³ - 240 cm³ = 16 cm³
16 ÷ 256 = 0,0625 = 1/16
Objętość prostopadłościanu jest od objętości graniastosłupa o 1/16 mniejsza.
#SPJ1
