Planimetria. Twierdzenie cosinusów. Pole trójkąta.
Kreślimy rysunek poglądowy.
Widzimy, że powierzchnia ośmiokąta składa się z kwadratu o boku 2cm i czterech przystających trójkątów równoramiennych.
Pole kwadratu o boku [tex]a[/tex] obliczymy, korzystając z wzoru:
[tex]P_K=a^2[/tex]
Podstawiamy:
[tex]P_K=2^2\\\\\boxed{P_K=4cm^2}[/tex]
Do pola trójkąta potrzebny nam jest kąt α oraz długości boków ośmiokąta.
Kąt α jest kątem wewnętrznym ośmiokąta foremnego.
Jego miarę obliczymy ze wzoru:
[tex]\alpha=\dfrac{(n-2)\cdot180^o}{n}[/tex]
Podstawiamy:
[tex]n=8\\\\\alpha=\dfrac{(8-2)\cdot180^o}{8}\\\\\boxed{\alpha=135^o}[/tex]
Aby obliczyć długość boku [tex]a[/tex] skorzystamy z twierdzenia cosinusów:
[tex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha[/tex]
[tex]a,\ b,\ c[/tex] - długości boków trójkąta
[tex]\alpha[/tex] - kąt trójkąta leżący naprzeciw boku [tex]a[/tex]
Podstawiamy:
[tex]2^2=a^2+a^2-2aa\cos135^o\\\\4=2a^2-2a^2\cos135^o[/tex]
Aby obliczyć wartość funkcji cosinus dla kąta rozwartego skorzystamy ze wzoru redukcyjnego:
[tex]\cos(180^o-\alpha)=-\cos\alpha[/tex]
[tex]\cos135^o=\cos(180^o-45^o)=-\cos45^o[/tex]
Wartość funkcji odczytujemy z tabeli:
[tex]-\cos45^o=-\dfrac{\sqrt2}{2}[/tex]
Podstawiamy:
[tex]4=2a^2-2a^2\cdot\left(-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\\\\4=2a^2+a^2\sqrt2\\\\a^2(2+\sqrt2)=4\qquad|:(2+\sqrt2)\\\\a^2=\dfrac{4}{2+\sqrt2}\cdot\dfrac{2-\sqrt2}{2-\sqrt2}\\\\a^2=\dfrac{4(2-\sqrt2)}{2^2-(\sqrt2)^2}\\\\a^2=\dfrac{4(2-\sqrt2)}{4-2}\\\\a^2=\dfrac{4(2-\sqrt2)}{2}\\\\\boxed{a^2=2(2-\sqrt2)}[/tex]
Pole trójkąta obliczymy ze wzoru:
[tex]P_T=\dfrac{1}{2}bc\sin\alpha[/tex]
[tex]b,\ c[/tex] - boki trójkąta
[tex]\alpha[/tex] - kąt leżący naprzeciw trzeciego boku
Podstawiamy:
[tex]P_T=\dfrac{1}{2}aa\sin\alpha\\\\P_T=\dfrac{1}{2}a^2\sin\alpha\\\\P_T=\dfrac{1}{2}\cdot2(2-\sqrt2)\cdot\sin135^o\\\\P_T=(2-\sqrt2)\sin135^o[/tex]
Wartość funkcji sinus kąta rozwartego obliczymy korzystając ze wzoru redukcyjnego:
[tex]\sin(180^o-\alpha)=\sin\alpha[/tex]
[tex]\sin135^o=\sin(180^o-45^o)=\sin45^o[/tex]
Wartość funkcji odczytujemy z tabeli:
[tex]\sin45^o=\dfrac{\sqrt2}{2}[/tex]
Podstawiamy:
[tex]P_T=(2-\sqrt2)\cdot\dfrac{\sqrt2}{2}\\\\P_T=\dfrac{2\sqrt2-2}{2}\\\\\boxed{P_T=\sqrt2-1}[/tex]
Obliczamy pole ośmiokąta foremnego:
[tex]P=P_K+4P_T\\\\P=4+4\cdot(\sqrt2-1)\\\\P=4+4\sqrt2-4\\\\\huge\boxed{P=4\sqrt2cm^2}[/tex]
