Rozwiązanie:
[tex]\bold{(a)}[/tex]
[tex]$\lim_{(x,y) \to (0,0)}(x^{2}+y^{2})\sin \frac{1}{ xy}[/tex]
Niech:
[tex]$f(x,y)=(x^{2}+y^{2})\sin \frac{1}{xy}[/tex]
Wtedy:
[tex]$0\leq |f(x,y)|=\Bigg|(x^{2}+y^{2}) \sin \frac{1}{xy}\Bigg|=(x^{2}+y^{2}) \Bigg|\sin \frac{1}{xy}\Bigg|\leq x^{2}+y^{2}[/tex]
Mamy:
[tex]$\lim_{(x,y) \to (0,0)}x^{2}+y^{2}=0[/tex]
Na mocy twierdzenia o trzech funkcjach:
[tex]$\lim_{(x,y) \to (0,0)}(x^{2}+y^{2}) \sin\frac{1}{xy}=0[/tex]
[tex]\bold{(b)}[/tex]
[tex]$\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{1-\cos (x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}[/tex]
Podstawienie:
[tex]t=x^{2}+y^{2}[/tex]
Jeżeli [tex](x,y) \to (0,0)[/tex], to [tex]t \to 0[/tex], zatem:
[tex]$\lim_{t \to 0}\frac{1-\cos t}{t^{2}} =\Big[\frac{0}{0}\Big][/tex]
Stosujemy regułę de l'Hospitala (dwukrotnie):
[tex]$\lim_{t \to 0}\frac{1-\cos t}{t^{2}} =\lim_{t \to 0}\frac{\sin t}{2t} =\lim_{t \to 0} \frac{\cos t}{2}=\frac{1}{2}[/tex]
Stąd:
[tex]$\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{1-\cos (x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]\bold{(c)}[/tex]
[tex]$\lim_{(x,y) \to (1,1)}\frac{x+y-2}{x^{2}+y^{2}-2}[/tex]
Dążmy do punktu po prostej [tex]y=x[/tex] :
[tex]$\lim_{x \to 1}\frac{x+x-2}{x^{2}+x^{2}-2} =\lim_{x \to 1} \frac{2x-2}{2x^{2}-2} =\lim_{x \to 1}\frac{x-1}{x^{2}-1} =\lim_{x \to 1}\frac{1}{x+1} =\frac{1}{2}[/tex]
Dążmy do punktu po prostej [tex]y=2-x[/tex] :
[tex]$\lim_{x \to 1}\frac{x+2-x-2}{x^{2}+(2-x)^{2}-2} =0[/tex]
Granice są różne, a zatem granica wyjściowa nie istnieje.
[tex]$\bold{(d)}[/tex]
[tex]$\lim_{(x,y) \to (\pi,0)}\frac{\sin^{2}x}{y^{2}}[/tex]
Dążmy do punktu po krzywej [tex]y=x-\pi[/tex] :
[tex]$\lim_{x \to \pi}\frac{\sin^{2}x}{(x-\pi)^{2}}[/tex]
Po zastosowaniu reguły de'l Hospitala (dwukrotnie):
[tex]$\lim_{x \to \pi}\frac{\sin^{2}x}{(x-\pi)^{2}}=\lim_{x \to \pi}\frac{\sin 2x}{2(x-\pi)}=\lim_{x \to \pi}\frac{2\cos2x}{2}=\lim_{x \to \pi}\cos 2x=1[/tex]
Dążmy do punktu po krzywej [tex]y=\sqrt{x-\pi}[/tex] :
[tex]$\lim_{x \to \pi}\frac{\sin^{2}x}{x-\pi}[/tex]
Po zastosowaniu reguły de'l Hospitala:
[tex]$\lim_{x \to \pi}\frac{\sin^{2}x}{x-\pi}=\lim_{x \to \pi} \sin 2x=0[/tex]
Granice są różne, zatem granica wyjściowa nie istnieje.
[tex]\bold{(e)}[/tex]
[tex]$\lim_{(x,y) \to (0,0)} y \ln(x^{2}+y^{2})[/tex]
Niech:
[tex]f(x,y)=y \ln (x^{2}+y^{2})[/tex]
Wtedy:
[tex]0\leq |f(x,y)|=|y \ln (x^{2}+y^{2})|\leq \sqrt{x^{2}+y^{2}} |\ln (x^{2}+y^{2})|[/tex]
Mamy:
[tex]$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \sqrt{x^{2}+y^{2}} |\ln (x^{2}+y^{2})|=0[/tex]
Zatem na mocy twierdzenia o trzech funkcjach:
[tex]$\lim_{(x,y) \to (0,0)} y \ln(x^{2}+y^{2})=0[/tex]
[tex]\bold{(f)}[/tex]
[tex]$\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}[/tex]
Dążmy do punktu po prostej [tex]y=x[/tex] :
[tex]$\lim_{x \to 0}\frac{x^{2} \cdot x}{x^{4}+x^{2}} =\lim_{x \to 0}\frac{x^{3}}{x^{4}+x^{2}} =\lim_{x \to 0}\frac{x}{x^{2}+1} =0[/tex]
Dążmy do punktu po prostej [tex]y=x^{2}[/tex] :
[tex]$\lim_{x \to 0} \frac{x^{2} \cdot x^{2}}{x^{4}+x^{4}} =\lim_{x \to 0}\frac{x^{4}}{2x^{4}}=\frac{1}{2}[/tex]
Granice są różne, a zatem granica wyjściowa nie istnieje.
