Odpowiedź:
6
Szczegółowe wyjaśnienie:
Ciąg geometryczny jest to ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz powstaje z poprzedniego poprzez pomnożenie go przez stałą liczbę różną od 0 zwaną ilorazem ciągu (q).
Wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:
[tex]a_n=a_1\cdot q^{n-1}[/tex]
Mamy dane:
[tex]a_3=3,\ a_6=192[/tex]
Na podstawie wzoru na wyraz ogólny ciągu otrzymujemy:
[tex]\dfrac{a_6}{a_3}=q^3[/tex]
podstawiamy:
[tex]q^3=\dfrac{192}{3}\\\\q^3=\dfrac{64}\to q=\sqrt[3]{64}\\\\\boxed{\bold{q=4}}[/tex]
Obliczymy pierwszy wyraz ciągu:
[tex]a_1=a_3:q^2[/tex]
podstawiamy:
[tex]a_1=3:4^2\\\\\boxed{\bold{a_1=\dfrac{3}{16}}}[/tex]
Wzór na wyraz ogólny ciągu:
[tex]a_n=\dfrac{3}{16}\cdot4^{n-1}\\\\a_n=\dfrac{3}{4^2}\cdot4^{n-1}\\\\a_n=3\cdot4^{-2}\cdot4^{n-1}\\\\a_n=3\cdot4^{-2+n-1}\\\\\boxed{\bold{a_n=3\cdot4^{n-3}}}[/tex]
Wyrazy mają należeć do przedziału (0,5; 1000).
Układamy układ nierówności:
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}3\cdot4^{n-3} > \dfrac{1}{2}&|:3\\\\3\cdot4^{n-3} < 1000&|:3\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{ccc}4^{n-3} > \dfrac{1}{6}\\\\4^{n-3} < \dfrac{1000}{3}\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{ccc}\dfrac{4^n}{4^3} > \dfrac{1}{6}&|\cdot4^3=64\\\\\dfrac{4^n}{4^3} < \dfrac{1000}{3}&|\cdot4^3=64\end{array}\right\\\left\{\begin{array}{ccc}4^n > \dfrac{32}{3}\\\\4^n < \dfrac{64000}{3}\end{array}\right[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{ccc}4^n > 10\dfrac{2}{3}&\Rightarrow n > 2,\ \text{bo}\ 4^2=16 > 10\dfrac{2}{3}\\\\4^n < 21333\dfrac{1}{3}&\Rightarrow n < 8\ \text{bo}\ 4^8=65536 > 21333\dfrac{1}{3},\ \text{a}\ 4^7=16384 < 21333\dfrac{1}{3}\end{array}\right[/tex]
Czyli mamy 2 < n < 8. Stąd takich wyrazów jest 6.
