Odpowiedź:
Punkty przecięcia prostej z wycinkiem kołowym o kącie środkowym 60° oznaczam A i B
Punkty przecięcia prostej z wycinkiem kołowym o kącie środkowym 120° oznaczam C i D
Obliczenia obszarów odciętych przez proste i cięciwy sprowadza się do obliczenia pól wycinków kołowych i odjęcia od nich pól trójkątów ABO i CDO
1.
P₁ - pole wycinka kołowego o promieniu r i kącie środkowym 60°
P₁ = παr²/360° = π * 60°/360° * r² = πr²/60
P₂ - pole trójkąta ABO
P₂ = 1/2 * r * r * sin60° = 1/2r² * √3/2 = r²√3/4
P₃ - pole części odciętej = P₁ - P₂ = πr²/60 - r²√3/4 = πr²/60 - 15r²√3/60 =
= r²(π - 15√3)/60
2.
P₁ - pole wycinka kołowego o promieniu r i kącie środkowym 120°
P₁ = παr²/360° = π * 120°/360° * r² = πr²/3
P₂ - pole trójkąta CDO
P₂ = 1/2 * r * r * sin120° = 1/2 * r² * √3/2 = r²√3/4
P₄ - pole części odciętej = P₁ - P₂ = πr²/3 - r²√3/4 = 4πr²/12 - 3r²√3/12
= r²(4π - 3√3)/12
3.
P - pole obszaru odciętego = P₃ + P₄ = r²(π - 15√3)/60 + r²(4π - 3√3)/12 =
= r²(π - 15√3)/60 + 5r²(4π - 3√3)/60 = [ r²(π - 15√3) + 5r²(4π - 3√3)]/60 =
= (πr² - 15r²√3 + 20πr² - 15r²√3)/60 = (21πr² + 30r²√3)/60 =
= 3r²(7π + 10√3)/60 = r²(7π + 10√3)/20
Rysunek w załączniku
