Odpowiedź :
Zadanie 1.
Długość boku pierwszego kwadratu to
[tex]a_1=10[/tex]
Długość boku drugiego kwadratu to
[tex]a_2=5\sqrt2[/tex]
Boki kwadratów tworzą ciąg geometryczny.
Policzmy iloraz.
[tex]q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{5\sqrt2}{10}=\frac{\sqrt2}{2}[/tex]
Iloraz jest mniejszy od 1, więc istnieje suma nieskończonego ciągu.
Policzmy tę sumę.
[tex]S=\frac{10}{1-\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{10}{\frac{2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{10}{\frac{2-\sqrt2}{2}}=10*\frac{2}{2-\sqrt2}=\frac{20}{2-\sqrt2}*\frac{2+\sqrt2}{2+\sqrt2}=\frac{40+20\sqrt2}{4-2}=\frac{40+20\sqrt2}{2}=\\=20+10\sqrt2[/tex]
Zadanie 2.
[tex]x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{4}+...=\frac{6x+1}{6}[/tex]
Po lewej stronie równania mamy sumę nieskończonego ciągu geometrycznego, w którym
[tex]a_1=x\\q=\frac{x}{2}[/tex]
Aby ta suma istniała, musi być spełniony warunek
[tex]|q| < 1\\|\frac{x}2}| < 1\ |*2\\|x| < 2\\x < 2\land x > -2\\x\in(-2,2)[/tex]
Przejdźmy do rozwiązania równania. Po lewej stronie zastosujemy wzór na sumę nieskończonego ciągu geometrycznego.
[tex]\frac{x}{1-\frac{x}{2}}=\frac{6x+1}{6}\ |*6(1-\frac{x}{2})\\6x=(6x+1)(1-\frac{x}{2})\\6x=6x-3x^2+1-\frac{x}{2}\\3x^2+6x-6x+\frac{x}{2}-1=0\\3x^2+\frac{x}{2}-1=0\ |*2\\6x^2+x-2=0\\\Delta=1^2-4*6*(-2)=1+48=49\\\sqrt\Delta=7\\x_1=\frac{-1-7}{2*6}=\frac{-8}{12}=-\frac{2}{3}\\x_2=\frac{-1+7}{2*6}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}[/tex]
Oba wyniki spełniają założenie, więc ostatecznie
[tex]x\in\{-\frac{2}{3},\frac{1}{2}\}[/tex]
Zadanie 3.
[tex]1,67212121...=\frac{167,212121...}{100}=\frac{167+0,212121...}{100}[/tex]
Wyrażenie 0,212121... potraktujemy jako sumę nieskończonego ciągu geometrycznego o
[tex]a_=0,21=\frac{21}{100}\\q=\frac{1}{100}[/tex]
Zatem
[tex]0,212121...=\frac{\frac{21}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{\frac{21}{100}}{\frac{99}{100}}=\frac{21}{100}*\frac{100}{99}=\frac{21}{99}=\frac{7}{33}[/tex]
Wracamy do wyjściowej liczby i mamy
[tex]1,67212121...=\frac{167,212121...}{100}=\frac{167+0,212121...}{100}=\frac{167+\frac{7}{33}}{100}=\frac{\frac{5518}{33}}{100}=\frac{5518}{3300}=1\frac{2218}{3300}=\\=1\frac{1109}{1650}[/tex]
Zadanie 4.
[tex]\sqrt{12}+\sqrt{6}+\sqrt3+...[/tex]
Mamy tu sumę nieskończonego ciągu geometrycznego, w którym
[tex]a_1=\sqrt{12}\\q=\frac{\sqrt6}{\sqrt{12}}=\frac{1}{\sqrt2}*\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}[/tex]
Zatem szukana suma to
[tex]\sqrt{12}+\sqrt{6}+\sqrt3+...=\frac{\sqrt{12}}{1-\frac{\sqrt2}{2}}=\frac{\sqrt{12}}{\frac{2-\sqrt2}{2}}=\sqrt{12}*\frac{2}{2-\sqrt2}=\frac{2\sqrt{12}}{2-\sqrt2}*\frac{2+\sqrt2}{2+\sqrt2}=\\=\frac{4\sqrt{12}+2\sqrt{24}}{4-2}=\frac{4\sqrt{12}+2\sqrt{24}}{2}=2\sqrt{12}+\sqrt{24}=2\sqrt{4*3}+\sqrt{4*6}=4\sqrt3+2\sqrt6[/tex]
Zadanie 5.
[tex]S=18\\\frac{a_1}{1-q}=18\ |*(1-q)\\a_1=18-18q\\\\a_3=\frac{8}{3}\\a_1*q^2=\frac{8}{3}\\(18-18q)*q^2=\frac{8}{3}\\18q^2-18q^3-\frac{8}{3}=0\ |*(-3)\\54q^3-54q^2+8=0\ |:2\\27q^3-27q^2+4=0[/tex]
Zauważmy, że wśród liczb będących ilorazami podzielników wyrazu wolnego 4 przez podzielniki współczynnika przy najwyższej potędze 27, jest rozwiązanie [tex]\frac{2}{3}[/tex], bo
[tex]27*(\frac{2}{3})^3-27*(\frac{2}{3})^2+4=27*\frac{8}{27}-27*\frac{4}{9}+4=8-12+4=0[/tex]
Podzielmy wielomian po lewej stronie równania przez dwumian [tex]x-\frac{2}{3}[/tex] przy pomocy schematu Hornera.
[tex]\begin{tabular}{c|c|c|c|c} & 27& -27&0&4\\2/3&27&-9&-6&=\end{tabular}[/tex]
Pozostało znaleźć rozwiązania z równania
[tex]27q^2-9q-6=0\ |:3\\9q^2-3q-2=0\ |:3\\\Delta=(-3)^2-4*9*(-2)=9+72=81\\\sqrt\Delta=9\\q_1=\frac{3-9}{2*9}=\frac{-6}{18}=-\frac{1}{3}\\q_2=\frac{3+9}{2*9}=\frac{12}{18}=\frac{2}{3}[/tex]
Ostatecznie mamy 2 rozwiązania:
[tex]\left \{ {{q=-\frac{1}{3}} \atop {a_1=18-18*(-\frac{1}{3})}} \right. \vee \left \{ {{q=\frac{2}{3}} \atop {a_1=18-18*\frac{2}{3}}} \right. \\\left \{ {{q=-\frac{1}{3}} \atop {a_1=24}} \right. \vee \left \{ {{q=\frac{2}{3}} \atop {a_1=6}} \right.[/tex]