a)
[tex]\bold{f(x)=8-2x^2}\\\\\bold{f(x)=-2x^2+8\qquad\implies\quad a=-2 < 0\,,\quad p=0\,,\quad q=8}[/tex]
Stąd:
Zbiór wartości funkcji:
[tex]\large\boxed{\bold{ZW=({-}\infty\,,\,8\big > }}[/tex]
Równanie osi symetrii paraboli będącej jej wykresem:
[tex]\large\boxed{\,\bold{x =0\big }\,}[/tex]
Maksymalne przedziały monotoniczności funkcji:
[tex]\large\boxed{\bold{f\nearrow\quad dla\,\ x\in({-}\infty\,,\,0\big > }\atop\\\\\big {\bold{f\searrow\quad dla\,\ x\in\big < 0\,,\,\infty)}}}[/tex]
b)
[tex]\bold{f(x)=(x-1)^2- 4\qquad\implies\quad a=1 > 0\,,\quad p=1\,,\quad q=-4}[/tex]
Czyli:
[tex]\large\boxed{\bold{ZW=\big < {-}4\,,\,\infty) }}[/tex]
oś symetrii:
[tex]\large\boxed{\,\bold{x =1\big }\,}[/tex]
monotoniczność:
[tex]\large\boxed{\bold{f\searrow\quad dla\,\ x\in({-}\infty\,,\,1\big > }\atop\\\\\big {\bold{f\nearrow\quad dla\,\ x\in\big < 1\,,\,\infty)}}}[/tex]
c)
Mamy funkcję w postaci ogólne, więc najpierw przekształcamy ją do postaci kanonicznej (ja korzystam ze wzoru skróconego mnożenia, ale jeśli przerabialiście już "deltę" to możesz użyć wzorów na p i q)
[tex]\bold{f(x) = \frac12x^2+3x+2\frac 12}\\\\\bold{f(x) = \frac12(x^2+6x+5)}\\\\\bold{f(x) = \frac12(x^2+6x+9-4)}\\\\\bold{f(x) = \frac12[(x+3)^2-4]}\\\\\bold{f(x) = \frac12(x+3)^2-2\qquad\implies\quad a=\frac12 > 0\,,\quad p=-3\,,\quad q=-2}[/tex]
Zatem:
[tex]\large\boxed{\bold{ZW=\big < {-}2\,,\,\infty) }}[/tex]
oś symetrii:
[tex]\large\boxed{\,\bold{x =-3\big }\,}[/tex]
monotoniczność:
[tex]\large\boxed{\bold{f\searrow\quad dla\,\ x\in({-}\infty\,,\,{-}3\big > }\atop\\\\\big {\bold{f\nearrow\quad dla\,\ x\in\big < {-}3\,,\,\infty)}}}[/tex]
Wyjaśnienia podstaw teoretycznych:
f(x) = ax² + bx + c - wzór funkcji kwadratowej w postaci ogólnej
Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej ma współrzędne W = (p, q)
p to współrzędna iksowa, a q - współrzędna igrekowa tego punktu.
Współrzędne wierzchołka wykorzystujemy do zapisu funkcji w postaci kanonicznej:
f(x) = a(x - p)² + q
Wierzchołek paraboli jest punktem szczególnym, bo współrzędna igrekowa ogranicza z jednej strony zbiór wartości funkcji kwadratowej:
- [tex]\bold{ZW=\big < q\,,\,\infty)}[/tex] jeśli a>0
- [tex]\bold{ZW=({-}\infty\,,\,q\big > }[/tex] jeśli a<0
Natomiast współrzędna iksowa "dzieli" parabolę na dwie lustrzane połowy, dlatego prosta przechodząca przez ten punkt i równoległa do osi 0Y jest osią symetrii paraboli:
x = p
Z jednej strony osi symetrii funkcja kwadratowa jest rosnąca, a z drugiej malejąca. Zmienia się to w zależności od współczynnika a:
[tex]\bold{f\searrow\quad dla\,\ x\in({-}\infty\,,\,p\big > }\\\\\bold{f\nearrow\quad dla\,\ x\in\big < p\,,\,\infty)}[/tex]
[tex]\bold{f\nearrow\quad dla\,\ x\in({-}\infty\,,\,p\big > }\\\\\bold{f\searrow\quad dla\,\ x\in\big < p\,,\,\infty)}[/tex]
