Zakładamy, że jest wymierna, a więc da się ją przedstawić w postaci [tex]\dfrac{a}{b}[/tex] gdzie [tex]a,b\in\mathbb{Z}\wedge b\not=0 \wedge \text{NWD}(a,b)=1[/tex].
[tex]\log_27 =\dfrac{a}{b}\\b\log_27 =a\\a=\log_27^b\\2^a=7^b[/tex]
Po lewej stronie mamy potęgę liczby parzystej, a po prawej potęgę liczby nieparzystej. Łatwo zauważyć, że dla wykładników całkowitych jedynym rozwiązaniem byłoby [tex]a=b=0[/tex], ale mamy założenie, że [tex]b\not=0[/tex], a więc powyższe równanie nie ma rozwiązania, a co za tym idzie, liczby [tex]\log_2 7[/tex] nie da się przedstawić w postaci [tex]\dfrac{a}{b}[/tex], co jest sprzeczne z wyjściowym założeniem.
