Obliczyć pole obszaru D ograniczonego krzywymi:

[tex]y = {e}^{ - x} \\ y = {e}^{2x} \\ y = {e}^{2} [/tex]


Odpowiedź :

Rozwiązanie:

Obszar w załączniku.

Obszar jest obszarem regularnym względem osi [tex]OX[/tex] i normalnym względem osi [tex]OY[/tex], więc zamiast dzielić go na dwa obszary normalne, to potraktujmy go jako normalny względem osi [tex]OY[/tex].

Znalezienie funkcji odwrotnych (funkcji postaci [tex]x=f(y)[/tex] ) :

[tex]e^{-x}=y \iff x=-\ln y[/tex]

[tex]$e^{2x}=y \iff x =\frac{1}{2} \ln y[/tex]

Całka:
[tex]$|P|=\int \limits^{e^{2}}_{1} \Bigg(\frac{1}{2}\ln y+\ln y \Bigg)\ dy=\frac{3}{2} \int\limits^{e^{2}}_{1} \ln y \ dy=\frac{3}{2}y\Big(\ln y - 1\Big)\Bigg|^{e^{2}}_{1}=\frac{3}{2}\Big(e^{2}+1\Big)[/tex]

Zobacz obrazek Louie314