Odpowiedź:
Szczegółowe wyjaśnienie:
Pole trójkąta o bokach a, b i c:
[tex]P=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\\\\p=\dfrac{a+b+c}{2}[/tex]
Promień okręgu wpisanego w trójkąt o bokach a, b i c:
[tex]r=\dfrac{2P}{a+b+c}[/tex]
Promień okręgu opisanego na trójkącie o bokach a, b i c:
[tex]R=\dfrac{acb}{4P}[/tex]
Mamy trójkąt równoramienny o podstawie długości 16cm i ramionach długości 10cm.
Środek okręgu wpisanego w ten trójkąt i środek okręgu opisanego na tym trójkącie leżą na prostej zawierającej wysokość trójkąta opuszczoną na podstawę trójkąta.
[tex]p=\dfrac{16+10+10}{2}=18\\\\P=\sqrt{18\cdot(18-16)(18-10)(18-10)}\\\\P=\sqrt{18\cdot2\cdot8\cdot8}\\\\P=\sqrt{36\cdot64}\\\\P=\sqrt{36}\cdot\sqrt{64}\\\\P=6\cdot8\\\\\huge\boxed{P=48(cm^2)}[/tex]
[tex]r=\dfrac{2\cdot48}{16+10+10}\\\\r=\dfrac{96\!\!\!\!\!\diagup^8}{36\!\!\!\!\!\diagup_3}\\\\\huge\boxed{r=\dfrac{8}{3}(cm)}[/tex]
[tex]R=\dfrac{16\!\!\!\!\!\diagup^1\cdot10\!\!\!\!\!\diagup^5\cdot10\!\!\!\!\!\diagup^5}{4\!\!\!\!\diagup_1\cdot48\!\!\!\!\!\diagup_3}\\\\\huge\boxed{R=\dfrac{25}{3}(cm)}[/tex]
Odległość między środkami tych okręgów zależy od tego, jakim trójkątem jest dany trójkąt (ostrokąty, prostokątny, rozwartokątny).
Aby określić jaki to jest trójkąt możemy skorzystać z uogólnienia twierdzenia Pitagorasa:
Niech a ≤ b ≤ c będą długościami boków trójkąta, to jeżeli
Sprawdzamy:
a = 10cm, b = 10cm, c = 16cm
a² + b² = 10² + 10² = 100 + 100 = 200
c² = 16² = 256
Na podstawie "wzorów" z załącznika mamy:
h - długość wysokości trójkąta równoramiennego opuszczona na podstawę
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość wysokości:
h² + 8² = 10²
h² + 64 = 100 |-64
h² = 36 ⇒ h = √36
Obliczamy odległość między środkami okręgów:
[tex]|O_1O_2|=\dfrac{25}{3}-\left(6-\dfrac{8}{3}\right)\\\\|O_1O_2|=\dfrac{25}{3}-\left(\dfrac{18}{3}-\dfrac{8}{3}\right)\\\\|O_1O_2|=\dfrac{25}{3}-\dfrac{10}{3}\\\\|O_1O_2|=\dfrac{15}{3}\\\\\huge\boxed{|O_1O_2|=5(cm)}[/tex]
