Patrząc na podany wzór funkcji [tex]f[/tex] można zauważyć, że jest to funkcja liniowa.
Przypomnijmy, że wzór funkcji liniowej w postaci kierunkowej ma postać:
[tex]\mathbf{y=ax+b}[/tex]
gdzie: [tex]a[/tex] - współczynnik kierunkowy, [tex]b[/tex] - wyraz wolny
Monotoniczność funkcji liniowej jest zależna od jej współczynnika kierunkowego, tzn.:
- jeżeli [tex]\mathbf{a > 0}[/tex], to funkcja jest rosnąca
- jeżeli [tex]\mathbf{a=0}[/tex], to funkcja jest stała
- jeżeli [tex]\mathbf{a < 0}[/tex], to funkcja jest malejąca.
Wracamy do zadania
[tex]f(x)=(1+5m)x+4[/tex]
W naszym przypadku współczynnik kierunkowy równy jest [tex]1+5m[/tex]. Sprawdźmy kiedy jest dodatni, kiedy ujemny, a kiedy równy [tex]0[/tex]:
- [tex]1+5m > 0 \ \ \iff \ \ 5m > -1 \ \ \iff \ \ m > -\frac{1}{5} \ \ \iff \ \ m \in (-\frac{1}{5}, +\infty)[/tex]
- [tex]1+5m < 0 \ \ \iff \ \ m < -\frac{1}{5} \ \ \iff \ \ m \in (-\infty, -\frac{1}{5})[/tex]
- [tex]1+5m=0 \ \ \iff \ \ m=-\frac{1}{5}[/tex]
Zatem:
- funkcja [tex]f[/tex] jest rosnąca dla [tex]m \in (-\frac{1}{5}, +\infty)[/tex]
- funkcja [tex]f[/tex] jest malejąca dla [tex]m \in (-\infty, -\frac{1}{5})[/tex]
- funkcja [tex]f[/tex] jest stała dla [tex]m=-\frac{1}{5}[/tex]
