Planimetria. Pole trójkąta równobocznego.
Obwód trójkąta równobocznego jest o 99 większy od jego wysokości. Oblicz pole tego trójkąta.
Odp: P = 324 + 351√3
Przyjmijmy [tex]a[/tex] jako bok trójkąta równobocznego.
Wówczas obwód tego trójkąta będzie wyrażać się wzorem:
[tex]L=3a[/tex]
Wysokość trójkąta równobocznego wyraża się wzorem:
[tex]h=\dfrac{a\sqrt3}{2}[/tex]
Otrzymujemy równanie:
[tex]L=h+99\Rightarrow3a=\dfrac{a\sqrt3}{2}+99[/tex]
Rozwiązanie:
[tex]3a=\dfrac{a\sqrt3}{2}+99\qquad|\cdot2\\\\6a=a\sqrt3+198\qquad|-a\sqrt3\\\\6a-a\sqrt3=198\\\\a(6-\sqrt3)=198\qquad|:(6-\sqrt3)\\\\a=\dfrac{198}{6-\sqrt3}[/tex]
Pozbywamy się niewymierności z mianownika korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
[tex]a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/tex]
[tex]a=\dfrac{198}{6-\sqrt3}\cdot\dfrac{6+\sqrt3}{6+\sqrt3}\\\\a=\dfrac{198(6+\sqrt3)}{6^2-(\sqrt3)^2}\\\\a=\dfrac{198(6+\sqrt3)}{36-3}\\\\a=\dfrac{198(6+\sqrt3)}{33}\\\\a=6(6+\sqrt3)\\\\\boxed{a=36+6\sqrt3)}[/tex]
Obliczamy pole korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego:
[tex]P=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}[/tex]
[tex]P=\dfrac{(36+6\sqrt3)^2\sqrt3}{4}=\dfrac{[1296+2\cdot36\cdot6\sqrt3+(6\sqrt3)^2]\sqrt3}{4}\\\\=\dfrac{(1296+432\sqrt3+108)\sqrt3}{4}=\dfrac{(1404+432\sqrt3)\sqrt3}{4}=(351+108\sqrt3)\sqrt3\\\\\huge\boxed{P=324+351\sqrt3}[/tex]
