Obliczam współrzędne punktów A i B
[tex]\begin{cases}y=x^2-4\\y=-2x-1\end{cases}[/tex]
[tex]x^2-4=-2x-1[/tex]
[tex]x^2-4+2x+1=0[/tex]
[tex]x^2+2x-3=0[/tex]
[tex]\Delta=2^2-4\cdot1\cdot(-3)=4+12=16[/tex]
[tex]\sqrt{\Delta}=\sqrt{16}=4[/tex]
[tex]x_1=\frac{-2-4}{2\cdot1}=\frac{-6}{2}=-3[/tex]
[tex]x_2=\frac{-2+4}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1[/tex]
[tex]\begin{cases}x=-3\\y=-2x-1\end{cases}\ \ \ \ lub\ \ \ \begin{cases}x=1\\y=-2x-1\end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases}x=-3\\y=-2\cdot(-3)-1\end{cases}\ \ \ \ lub\ \ \ \begin{cases}x=1\\y=-2\cdot1-1\end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases}x=-3\\y=6-1\end{cases}\ \ \ \ lub\ \ \ \begin{cases}x=1\\y=-2-1\end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases}x=-3\\y=5\end{cases}\ \ \ \ lub\ \ \ \begin{cases}x=1\\y=-3\end{cases}[/tex]
[tex]A=(-3,5)[/tex]
[tex]B=(1,-3)[/tex]
Wyznaczam równanie prostej przechodzącej przez punkty A i B
[tex]\begin{cases}a\cdot(-3)+b=5\\a\cdot1+b=-3 \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases}-3a+b=5\\a+b=-3\ \ \ \cdot(-1) \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases}-3a+b=5\\-a-b=3 \end{cases}[/tex]
+__________
[tex]-4a=8\ \ \ |:(-4)[/tex]
[tex]a=-2[/tex]
[tex]\begin{cases}a=-2\\a+b=-3 \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases}a=-2\\-2+b=-3) \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases}a=-2\\b=-3+2 \end{cases}[/tex]
[tex]\begin{cases}a=-2\\b=-1 \end{cases}[/tex]
[tex]y=-2x-1[/tex]
[tex]2x+y+1=0[/tex]
Wyznaczam odległość punktu C od prostej przechodzącej przez punkty A i B
(to wysokość trójkąta ABC)
[tex]C=(x,x^2-4)[/tex]
[tex]h(x)=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/tex]
[tex]h(x)=\frac{|2x+y+1|}{\sqrt{2^2+1^2}}[/tex]
[tex]h(x)=\frac{|2x+x^2-4+1|}{\sqrt{4+1}}[/tex]
[tex]h(x)=\frac{|x^2+2x-3|}{\sqrt{5}}[/tex]
Obliczam współrzędne punktu C
(pole będzie największe, jeżeli wysokość będzie największa)
[tex]x_C\in(x_A,x_B)[/tex]
[tex]x_C\in(-3,1)[/tex]
[tex]h(-3)=\frac{|(-3)^2+2\cdot(-3)-3|}{\sqrt{5}}=\frac{|9+6-3|}{\sqrt{5}}=0[/tex]
[tex]h(1)=\frac{|1^2+2\cdot 1-3|}{\sqrt{5}}=\frac{|1+2-3|}{\sqrt{5}}=0[/tex]
Dla [tex]x\in(-3,1)[/tex] funkcja [tex]h(x)=\frac{|x^2+2x-3|}{\sqrt{5}}=\frac{-(x^2+2x-3)}{\sqrt{5}} [/tex]
Największą wartość funkcja będzie przyjmowała w wierzchołku paraboli.
[tex]h(x)=-\frac{x^2+2x-3}{\sqrt{5}}=-\frac{x^2}{\sqrt5}-\frac{2x}{\sqrt5}+\frac{3}{\sqrt5}[/tex]
[tex]x_C=-\frac{b}{2a}=-\frac{-\frac{2}{\sqrt5}}{-2\cdot\frac{1}{\sqrt5}}=-1[/tex]
[tex]y_C=x_C^2-4=(-1)^2-4=1-4=-3[/tex]
[tex]C=(-1,-3)[/tex]
