Witaj :)
Naszym zadaniem jest obliczenie pola trójkąta równobocznego, na którym opisano koło o danym polu. Wzór na pole trójkąta równobocznego wygląda następująco:
[tex]\Large \boxed{P_{\Delta ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}}[/tex]
gdzie:
a - długość boku trójkąta równobocznego.
Całe zadanie sprowadza się więc do obliczenia długości boku trójkąta. Przydatne będą również następujące wzory:
[tex]P=\pi r^2[/tex]
[tex]r=\frac{2}{3}h[/tex]
[tex]h=\frac{a\sqrt{3}}{2}[/tex]
Dane:
[tex]P=27\pi[/tex]
[tex]27\pi =\pi r^2\ /:\pi\\27=r^2\ /\sqrt{...}\\r=\sqrt{27}=\sqrt{9\cdot 3}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{3}=3\sqrt{3}\\\\\boxed{r=3\sqrt{3}}[/tex]
[tex]3\sqrt{3}=\frac{2}{3}h\ /\cdot 3\\ 9\sqrt{3}=2h\ /:2\\ h=\frac{9\sqrt{3}}{2}\\ \\\boxed{h=\frac{9\sqrt{3}}{2}}[/tex]
[tex]\frac{9\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}\ /\cdot 2\\9\sqrt{3}=a\sqrt{3}\ /:\sqrt{3}\\\frac{9\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=a\\\\\boxed{a=9}[/tex]
[tex]P_{\Delta ABC}=\frac{9^2\sqrt{3} }{4}=\frac{81\sqrt{3}}{4} \\ \\\boxed{ P_{\Delta ABC}=\frac{81\sqrt{3}}{4}\ [j^2]}[/tex]
Odpowiedź.: Pole trójkąta wynosi [tex]\frac{81\sqrt{3}}{4}\ [j^2][/tex].
