[tex]V=16\sqrt{15}cm^3[/tex]
Dane:
D=4√3 cm - przekątna graniastosłupa
α=30° - kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a płaszczyzną podstawy
a=4 cm - długość jednej z krawędzi podstawy
Szukane:
V=?
Rozwiązanie:
Pierwszym krokiem jest sporządzenie rysunku pomocniczego, który znajduje się w załączniku.
Wiedząc, że α=30° możemy obliczyć przekątną podstawy prostopadłościanu (d) korzystając z wartości funkcji trygonometrycznych.
Skorzystamy z cosinusa kąta α.
[tex]cos\alpha =\frac{d}{D} \\d=cos\alpha *D\\d=\frac{\sqrt{3} }{2}*4\sqrt{3} \\d=6 cm[/tex]
Korzystając z wartości funkcji trygonometrycznych możemy także obliczyć wysokość prostopadłościanu tylko w tym przypadku skorzystamy z sinusa kąta α.
[tex]sin\alpha =\frac{H}{D} \\H=sin\alpha *D\\H=\frac{1}{2}*4\sqrt{3} \\H=2\sqrt{3}cm[/tex]
Ostatnią rzeczą, którą musimy wykonać, aby obliczyć objętość graniastosłupa, jest obliczenie drugiej krawędzi podstawy (b) prostopadłościanu używając twierdzenia Pitagorasa.
[tex]a^2+b^2=d^2\\b^2=d^2-a^2\\b=\sqrt{d^2-a^2}\\ b=\sqrt{6^2-4^2}\\ b=\sqrt{20}\\ b=2\sqrt{5} cm[/tex]
Ostatnim krokiem jest obliczenie objętości prostopadłościanu. Objętość prostopadłościanu to iloczyn pola podstawy i wysokości graniastosłupa.
[tex]V=P_p*H\\V=2\sqrt{5}*4*2\sqrt{3} \\V=16\sqrt{15} cm^3[/tex]
