Z.:
[tex]\alpha\ne k\cdot\dfrac\pi4\,,\quad k\in \mathbb Z[/tex]
T.:
[tex]\dfrac{\text{ctg\,}(\frac32\pi-\alpha)}{1-\text{tg\,}^2(\pi-\alpha)}\,\cdot\,\dfrac{\text{ctg\,}^2(2\pi-\alpha)-1}{\text{ctg\,}(\pi+\alpha)}=1[/tex]
D.:
Przekształcamy i upraszczamy lewą stronę korzystając ze wzorów redukcyjnych i tożsamości trygonometrycznych (oraz praw działań w zbiorze liczb rzeczywistych):
[tex]L=\dfrac{\text{ctg\,}(\frac32\pi-\alpha)}{1-\text{tg\,}^2(\pi-\alpha)}\,\cdot\,\dfrac{\text{ctg\,}^2(2\pi-\alpha)-1}{\text{ctg\,}(\pi+\alpha)}=\\\\\\=\dfrac{\text{ctg\,}(\frac32\pi-\alpha)}{1-\left[\text{tg\,}(\pi-\alpha)\right]^2}\,\cdot\,\dfrac{\left[\text{ctg\,}(2\pi-\alpha)\right]^2-1}{\text{ctg\,}(\pi+\alpha)}=\\\\\\=\dfrac{\text{tg\,}\alpha}{1-\left[-\text{tg\,}\alpha\right]^2}\,\cdot\,\dfrac{\left[-\text{ctg\,}\alpha\right]^2-1}{\text{ctg\,}\alpha}=[/tex]
[tex]=\dfrac{\text{tg\,}\alpha}{1-\text{tg\,}^2\alpha}\,\cdot\,\dfrac{\text{ctg\,}^2\alpha-1}{\text{ctg\,}\alpha}=\dfrac{\text{tg\,}\alpha\cdot\text{ctg\,}\alpha\cdot \text{ctg\,}\alpha\ -\ \text{tg\,}\alpha}{\text{ctg\,}\alpha\ -\ \text{tg\,}\alpha\cdot \text{tg\,}\alpha \cdot \text{ctg\,}\alpha}=\\\\\\=\dfrac{1\cdot\text{ctg\,}\alpha\,-\, \text{tg\,}\alpha}{\text{ctg\,}\alpha\,-\, \text{tg\,}\alpha\cdot1}= \dfrac{\text{ctg\,}\alpha-\text{tg\,}\alpha}{\text{ctg\,}\alpha-\text{tg\,}\alpha}=1=P[/tex]
co należało wykazać.
Wykorzystane wzory i tożsamości:
[tex]\text{ctg\,}(\frac32\pi-\alpha)=\text{tg\,}\alpha\\\\\text{ctg\,}(2\pi-\alpha)=-\text{ctg\,}\alpha\\\\\text{ctg\,}(\pi+\alpha)=\text{ctg\,}\alpha\\\\ \text{tg\,}(\pi-\alpha)=-\text{tg\,}\alpha\\\\ \text{ctg\,}\alpha= \dfrac1{\text{tg\,} \alpha} \quad \implies\quad \text{tg\,}\alpha\cdot\text{ctg\,}\alpha=1[/tex]
