Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{\mathbb{D}:x\in\mathbb{R}-\{-1,\ 0,\ 1\}}\\\boxed{\dfrac{x^4-x^3-6x^2+6x}{x^3-x}=\dfrac{x-6}{x+1}}\\\boxed{f(\sqrt7)=\dfrac{1-5\sqrt7}{6}}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]f(x)=\dfrac{x^4-x^3-6x^2+6x}{x^3-x}[/tex]
Określamy dziedzinę funkcji:
[tex]\mathbb{D}:\\\\x^3-x\neq0\\x(x^2-x)\neq0\iff x\neq0\ \wedge\ x^2-1\neq0\\\\x\neq0\ \wedge\ x^2\neq1\\\\x\neq0\ \wedge\ x\neq-1\ \wedge\ x\neq1\\\\\huge\boxed{\mathbb{D}:x\in\mathbb{R}-\{-1,\ 0,\ 1\}}[/tex]
Upraszczamy wyrażenie:
[tex]\dfrac{x^4-x^3-6x^2+6x}{x^3-x}=\dfrac{x\!\!\!\!\diagup(x^3-x^2-6x+6)}{x\!\!\!\!\diagup(x^2-1)}=\dfrac{x^2(x-1)-6(x-1)}{(x-1)(x+1)}\\\\=\dfrac{(x-1)(x-6)}{(x-1)(x+1)}=\dfrac{x-6}{x+1}[/tex]
[tex]\huge\boxed{\dfrac{x^4-x^3-6x^2+6x}{x^3-x}=\dfrac{x-6}{x+1}}[/tex]
[tex]x=\sqrt7[/tex]
podstawiamy do uproszczonego wyrażenia:
[tex]\dfrac{\sqrt7-6}{\sqrt7-1}=\dfrac{\sqrt7-6}{\sqrt7-1}\cdot\dfrac{\sqrt7+1}{\sqrt7+1}=\dfrac{7+\sqrt7-6\sqrt7-6}{(\sqrt7)^2-1^2}=\dfrac{1-5\sqrt7}{7-1}=\dfrac{1-5\sqrt7}{6}[/tex]
