Odpowiedź:
f(x) = 2x² + 8x - 10
f(x) = 2(x + 5)(x - 1)
f(x) = 2(x + 2)² - 18
Szczegółowe wyjaśnienie:
Wzór funkcji kwadratowej w postaci:
ogólnej:
f(x) = ax² + bx + c
iloczynowej:
f(x) = a(x - x₁)(x - x₂)
x₁, x₂ - miejsca zerowe funkcji
kanonicznej:
f(x) = a(x - p)² + q
(p, q) - współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem funkcji f(x)
p = -b/2a, q = f(p)
Pierwsza dana, to punkt przecięcia z osią OY - (0, -10).
Podstawiamy x = 0 i f(x) = -10 do wzoru funkcji w postaci ogólnej:
-10 = a · 0² + b · 0 + c
c = -10
Drugą daną jest oś symetrii o równaniu x = -2. Odpowiada to odciętej (p) współrzędnych wierzchołka paraboli. Stąd mamy:
p = -b/2a, p = -2
-b/2a = -2 |·(-2a)
b = 4a (1)
Trzecią daną jest miejsce zerowe funkcji x = 1.
Podstawiamy do postaci ogólnej x = 1 i f(x) = 0:
0 = a · 1² + b · 1 - 10
0 = a + b - 10 |-b
-b = a - 10 |·(-1)
b = 10 - a (2)
Przyrównujemy równania (1) i (2):
4a = 10 - a |+a
5a = 10 |:5
a = 2
podstawiamy wartość a do równania (1)
b = 4 · 2
b = 8
Otrzymujemy postać ogólną wzoru funkcji kwadratowej:
f(x) = 2x² + 8x - 10
Znajdujemy drugie miejsce zerowe do postaci iloczynowej:
2x² + 8x - 10 = 0 |:2
x² + 4x - 5 = 0
x² + 5x - x - 5 = 0
x(x + 5) - 1(x + 5) = 0
(x + 5)(x - 1) = 0 ⇔ x + 5 = 0 v x - 1 = 0
x = -5 v x = 1
Otrzymujemy postać iloczynową wzoru funkcji kwadratowej:
f(x) = 2(x + 5)(x - 1)
Do postaci kanonicznej musimy obliczyć wartość q:
q = f(p)
q = f(-2)
q = 2 · (-2)² + 8 · (-2) - 10
q = 2 · 4 - 16 - 10
q = -18
Otrzymujemy postać kanoniczną wzoru funkcji kwadratowej:
f(x) = 2(x + 2)² - 18
