Odpowiedź:
[tex]\frac{S_5+S_7}{S_6}=\frac{1091}{546}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]a_n=2*3^{3-n}[/tex]
Przekształćmy wzór ciągu do prostszej postaci.
[tex]a_n=2*3^{3-n}=2*3^3*3^{-n}=2*27*\frac{1}{3^n}=\frac{54}{3^n}[/tex]
Wyznaczmy pierwszy wyraz i iloraz.
[tex]a_1=\frac{54}{3^1}=18\\a_2=\frac{54}{3^2}=\frac{54}{9}=6\\q=\frac{a_2}{a_1}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}[/tex]
Policzmy poszczególne sumy z wyrażenia.
[tex]S_5=\frac{a_1(1-q^5)}{1-q}=\frac{18(1-(\frac{1}{3})^5)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{18(1-\frac{1}{243})}{\frac{2}{3}}=18*\frac{242}{243}*\frac{3}{2}=18*\frac{121}{81}=2*\frac{121}{9}=\frac{242}{9}\\S_6=\frac{a_1(1-q^6)}{1-q}=\frac{18(1-(\frac{1}{3})^6)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{18(1-\frac{1}{729})}{\frac{2}{3}}=18*\frac{728}{729}*\frac{3}{2}=18*\frac{364}{243}=2*\frac{364}{27}=\frac{728}{27}[/tex]
[tex]S_7=\frac{a_1(1-q^7)}{1-q}=\frac{18(1-(\frac{1}{3})^7)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{18(1-\frac{1}{2187})}{\frac{2}{3}}=18*\frac{2186}{2187}*\frac{3}{2}=18*\frac{1093}{729}=2*\frac{1093}{81}=\\=\frac{2186}{81}[/tex]
Policzmy wartość danego wyrażenia.
[tex]\frac{S_5+S_7}{S_6}=\frac{\frac{242}{9}+\frac{2186}{81}}{\frac{728}{27}}=\frac{\frac{2178}{81}+\frac{2186}{81}}{\frac{728}{27}}=\frac{\frac{4364}{81}}{\frac{728}{27}}=\frac{4364}{81}*\frac{27}{728}=\frac{1091}{3}*\frac{1}{182}=\frac{1091}{546}[/tex]
