Rozwiązane

Zbadaj monotonniczność ciągów:
a) an = n+2/n ( / oznacza kreskę ułamkową)
b) an = n^2 - 6n (tutaj ^2 oznacza potęgę)
c) an = 2^n+2 (^n+2 to też potęga)

Odpowiedź :

Catta1eyaviz

[tex]a)\\\\a_n=\frac{n+2}n\\a_1=\frac{1+2}1=\frac31=3\\a_2=\frac{2+2}2=\frac42=2\\a_1 > a_2 - \text{Ciag malejacy}[/tex]

[tex]b)\\\\a_n=n^2-6n\\\\a=1 - \text{ramiona skierowane w gore}\\p=\frac{6}2=3\\\\\text{Ciag malejacy dla wyrazow} < 1; 3 > \\\text{Ciag rosnacy dla wyrazow} < 3; \infty)[/tex]

[tex]c)\\a_n=2^n+2\\a_1=2^1+2=2+2=4\\a_2=2^2+2=4+2=8\\a_3=2^3+2=8+2=10\\a_1 < a_2\\\text{Ciag rosnacy}[/tex]

Poziomka777viz

Odpowiedź:

aₙ₊₁-aₙ= (n+1+2)/(n+1)  -  (n+2)/n=(n+3)/(n+1) - (n+2)/n=

[n(n+3)-(n+1)(n+2) ]/n*(n+1)= (n²+3n-n²-3n-2)/n(n+1)= -2/n(n+1)= ciag malejacy bo licznik ujemny, a mianownik dodatni dla n ∈N+

aₙ₊₁-aₙ= (n+1)²-6(n+1)-n²+6n=n²+2n+1-6n-6-n²+6n= 2n-5

ciag nie jest monotoniczny

aₙ=2ⁿ⁺²=2ⁿ *4                aⁿ⁺¹= 2ⁿ⁺¹⁺²=2ⁿ⁺³=2ⁿ*8

aⁿ⁺¹-aₙ=2ⁿ*8-2ⁿ*4=2ⁿ ( 8-4)= 4*2ⁿ  = zawsze >0 ciag rosnacy

Szczegółowe wyjaśnienie:

Viz Inne Pytanie