Odpowiedź:
TAK
Szczegółowe wyjaśnienie:
SPOSÓB 1.
Przekształćmy równanie okręgu do postaci kanonicznej, aby odczytać jego środek i promień.
[tex]x^2+y^2-10y+7=0\\x^2+(y-5)^2-25+7=0\\x^2+(y-5)^2=18[/tex]
Stąd
[tex]S=(0,5)\\r=\sqrt{18}=\sqrt{9*2}=3\sqrt2[/tex]
Aby stwierdzić, czy prosta jest styczna, policzmy odległość środka okręgu od tej prostej.
[tex]d=\frac{|0+5+1|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{6}{\sqrt2}*\frac{\sqrt2}{\sqrt2}=\frac{6\sqrt2}{2}=3\sqrt2[/tex]
Odległość ta jest równa promieniowi, więc prosta jest styczna do okręgu.
SPOSÓB 2.
Wyznaczmy x z równania prostej podstawmy do równania okręgu.
[tex]x+y+1=0\\x=-y-1\\(-y-1)^2+y^2-10y+7=0\\y^2+2y+1+y^2-10y+7=0\\2y^2-8y+8=0\ |:2\\y^2-4y+4=0[/tex]
Policzmy deltę. Jeśli delta wyniesie 0, to powyższe równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie, a to oznacza, że prosta jest styczna do okręgu.
[tex]\Delta=(-4)^2-4*1*4=16-16=0[/tex]
Zatem prosta jest styczna do okręgu.
