Odpowiedź:
[tex]x\in(-\infty,-2\left > \cup\right < 2,+\infty)[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]|x^2-x|\geq |x-2|+2[/tex]
Rozpatrzymy przypadki.
[tex]x^2-x=0\\x(x-1)=0\\x=0\vee x=1\\\\x-2=0\\x=2[/tex]
Przypadek 1.
Zakładamy, że [tex]x\in(-\infty,0)\cup \left < 1,2\right)\\[/tex]. Wówczas
[tex]x^2-x\geq -x+2+2\\x^2-4\geq 0\\(x-2)(x+2)\geq 0\\x\in(-\infty,-2\left > \cup\right < 2,+\infty)[/tex]
Podsumowując z założeniem, mamy:
[tex]x\in(-\infty,-2\left >[/tex]
Przypadek 2.
Zakładamy, że [tex]x\in\left < 0,1)[/tex]. Wówczas
[tex]-x^2+x\geq -x+2+2\\-x^2+2x-4\geq 0\ |*(-1)\\x^2-2x+4\leq 0\\\Delta=(-2)^2-4*1*4=4-16=-12 < 0[/tex]
Delta jest ujemna, więc brak miejsc zerowych. Nierówność również nie ma rozwiązań.
Przypadek 3.
Zakładamy, że [tex]x\in \left < 2,+\infty\right)\\[/tex]. Wówczas
[tex]x^2-x\geq x-2+2\\x^2-2x\geq 0\\x(x-2)\geq 0\\x\in(-\infty,0\left > \cup\right < 2,+\infty)[/tex]
Podsumowując z założeniem, mamy:
[tex]x\in \left < 2,+\infty\right)\\[/tex]
Ostatecznie rozwiązaniem całej nierówności jest:
[tex]x\in(-\infty,-2\left > \cup\right < 2,+\infty)[/tex]
