Planimetria. Pole równoległoboku.
W równoległoboku ABCD boki mają długość |AB| = 10, |AD| = 8,
|∠DAB| = 120°. Odcinek AE jest wysokością w trójkącie ABC, natomiast odcinek AF jest wysokością w trójkącie ACD. Oblicz pole czworokąta ABCD.
W zadaniu mamy dane, które nie są potrzebne do rozwiązania tego zadania.
Wystarczą nam długości boków i miara jednego z kątów równoległoboku.
Przekątna dzieli równoległobok na dwa przystające trójkąty. W związku z tym pole równoległoboku jest równe polu dwóch przystających trójkątów.
Pole trójkąta możemy obliczyć ze wzoru:
[tex]P_\Delta=\dfrac{1}{2}bc\sin\alpha[/tex]
[tex]b,\ c[/tex] - długości boków trójkąta
[tex]\alpha[/tex] - kąt zawarty między bokami [tex]b[/tex] i [tex]c[/tex]
W związku z tym pole równoległoboku o bokach [tex]a[/tex] i [tex]b[/tex] oraz jednym z kątów wewnętrznych [tex]\alpha[/tex] obliczymy ze wzoru:
[tex]P=2\cdot\dfrac{1}{2}ab\sin\alpha\\\\\boxed{P=ab\sin\alpha}[/tex]
Podstawiamy:
[tex]a=10,\ b=8,\ \alpha=120^o[/tex]
[tex]\sin(180^o-x)=\sin x\Rightarrow\sin120^o=\sin(180^o-60^o)=\sin60^o=\dfrac{\sqrt3}{2}[/tex]
[tex]P=10\cdot8\!\!\!\!\diagup^4\cdot\dfrac{\sqrt3}{2\!\!\!\!\diagup_1}\\\\\huge\boxed{P=40\sqrt3}[/tex]
Jeżeli nie znamy funkcji trygonometrycznych, to do pola równoległoboku potrzebna nam jest jedna z wysokości.
Wiemy, że suma miar kątów wewnętrznych przy jednym z boków równoległoboku wynosi 180°. Stąd |∠ADC|=180° - 120° = 60°.
Teraz możemy skorzystać z zależności miarowych w trójkącie prostokątnym o kątach 30°, 60° i 90°.
Stąd mamy:
[tex]2a=8\to a=4\to a\sqrt3=4\sqrt3[/tex]
Czyli wysokość rombu ma długość [tex]|AF|=4\sqrt3[/tex].
Obliczamy pole rombu korzystając ze wzoru:
[tex]P=a\cdot h[/tex]
[tex]P=10\cdot4\sqrt3\\\\\huge\boxed{P=40\sqrt3}[/tex]
