Cześć!
[tex]\lim_{n \to \infty} (\frac{1+3+5+...+(2n+1)}{1-n^2})[/tex]
Licznik to suma wyrazów ciągu arytmetycznego o [tex]a_1 = 1[/tex], [tex]a_n=2n+1[/tex] i [tex]r=2[/tex]:
[tex]a_n=a_1+(n_w-1)r[/tex], gdzie [tex]n_w[/tex] to liczba wyrazów:
[tex]2n+1=1+(n_w-1)\cdot 2\\\\2n_w - 2 = 2n\\\\2n_w = 2n+2\\\\n_w = n+1[/tex]
Wówczas suma (n+1) wyrazów tego ciągu arytmetycznego:
[tex]S_{n}_{_w} = \frac{a_1+a_n}{2}n_w[/tex], co u nas jest równe: [tex]S_{n+1} = \frac{1+2n+1}{2} \cdot (n+1) = (n+1)(n+1) = (n+1)^2[/tex]
Wstawiając do granicy:
[tex]\lim_{n \to \infty} (\frac{1+3+5+...+(2n+1)}{1-n^2}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{(n+1)^2}{1-n^2}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{n^2+2n+1}{1-n^2})[/tex]
Dzielimy przez najwyższą potęgę mianownika i otrzymujemy:
[tex]\lim_{n \to \infty} (\frac{n^2(1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2})}{n^2(\frac{1}{n^2}-1)}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^2}-1})[/tex]
Skorzystamy z twierdzenia o arytmetyce działań na granicach. Przy [tex]n \to \infty[/tex] wyrażenia [tex]\frac{2}{n}, \frac{1}{n^2}[/tex] dążą do [tex]0[/tex], natomiast granica stałej jest równa tej stałej. Wówczas:
[tex]\lim_{n \to \infty} (\frac{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{\frac{1}{n^2}-1}) = \frac{1+0+0}{0-1} = \frac{1}{-1}=-1[/tex]
Pozdrawiam!
