Na załączonym rysunku widać w której ćwiartce współrzędnych, jakie funkcje są dodatnie.
Podpunkt a)
Kąt leży w drugiej ćwiartce, a więc widzimy na schematycznym obrazku, że tylko sinus jest dodatni. Obliczmy cosinusa z jedynki trygonometrycznej, pamiętając jednak o tym, że ostatecznie musimy wybrać ten z minusem.
[tex]sin^2 \alpha +cos^2\alpha=1\\(\frac{5}{9})^2+cos^2\alpha =1\\cos^2\alpha=1-\frac{25}{81} \\cos^2\alpha=\frac{56}{81} \\[/tex]
Odrzucam dodatnią opcję, więc:
[tex]cos\alpha=-\frac{2\sqrt{14} }{9}[/tex]
Tangens możemy obliczyć dzieląc sinusa na cosinusa. Oczywiście wyjdzie ujemny i taki też ma być.
[tex]tg\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha} \\tg\alpha=\frac{\frac{5}{9} }{-\frac{2\sqrt{14} }{9} } \\tg\alpha=\frac{5}{9} *(-\frac{9}{2\sqrt{14} } )=-\frac{5}{2\sqrt{14}} *\frac{\sqrt{14} }{\sqrt{14} } =-\frac{5\sqrt{14} }{28}[/tex]
Cotangens to odwrotność tangensa - oczywiście również wyjdzie ujemny tak jak powinien.
[tex]ctg\alpha=-\frac{9}{5\sqrt{14} } *\frac{\sqrt{14} }{\sqrt{14} } =-\frac{9\sqrt{14} }{70}[/tex]
Podpunkt b)
Kąt leży w czwartej ćwiartce, gdzie tylko cosinus jest dodatni. Obliczmy zatem:
Cotangens to odwrotność tangensa:
[tex]ctg\alpha=-\frac{8}{15}[/tex]
Teraz zostaje nam obliczyć sinusa i cosinusa. Są dwie niewiadome, więc potrzebujemy dwóch równań, z których stworzymy układ równań. Znamy tangensa, więc jednym z równań będzie wzór mówiący, że tangens to sinus dzielony przez cosinus. Drugim działaniem natomiast będzie jedynka trygonometryczna.
UWAGA! Poniższe równania proszę zapisywać w układzie równań (klamrze):
[tex]sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\\\frac{sin\alpha}{cos\alpha} =-\frac{15}{8} \\\\sin\alpha=-\frac{15cos\alpha}{8} \\(-\frac{15cos\alpha}{8} )^2+cos^2\alpha=1[/tex]
Zajmijmy się na razie drugim równaniem:
[tex]\frac{225cos^2\alpha}{64} +cos^2\alpha=1|*64\\225cos^2\alpha+64cos^2\alpha=64\\289cos^2\alpha=64|:289\\cos^2\alpha=\frac{64}{289} \\cos\alpha=\frac{8}{17}[/tex]
Oczywiście, wybieramy dodatnią opcję cosinusa ze względu na to, że kąt ma od 270 do 360 stopni.
Wracamy do układu równań, aby wyliczyć sinusa:
[tex]\frac{sin\alpha}{\frac{8}{17} } =-\frac{15}{8} |*\frac{8}{17} \\sin\alpha=-\frac{15}{8} *\frac{8}{17} =- \frac{15}{17}[/tex]
