Odpowiedź:
zad 2
a)
(x + 5)² ≥ (2x + 10)²
x² + 10x +25 ≥ 4x² + 40x + 100
x² - 4x² + 10x - 40x + 25 - 100 ≥ 0
- 3x² - 30x - 75 ≥ 0
Obliczamy miejsca zerowe
- 3x² - 30x - 75 = 0
a = - 3 , b = - 30 , c = - 75
Δ = b² - 4ac = (- 30)² - 4 * (- 3) * (- 75) = 900 - 900 = 0
x₁ = x₂ = - b/2a = 30/(- 6) = - 30/6 = - 5
a< 0 , więc ramiona paraboli skierowane do dołu ; Δ = 0 , więc jedno miejsce zerowe x₀ = - 5
x = x₀ = - 5
b)
x(1 - 3x) < 0
x < 0 ∧ 1 -3x > 0 ∨ x > 0 ∧ 01 - 3x < 0
x < 0 ∧ - 3x > - 1 ∨ x> 0 ∧ - 3x < - 1
x< 0 ∧ 3x < 1 ∨ x > 0 ∧ 3x > 1
x < 0 ∧ x < 1/3 ∨ x > 0 ∧ x > 1/3
x < 0 ∨ x > 1/3
x ∈ ( - ∞ , 0 ) ∪ ( 1/3 , + ∞ )
∧ - znaczy "i"
∨ -znaczy "lub"
c)
x⁴ + 5x² - 6 = 0
za x² wstawiam z
z² + 5z - 6 = 0
a = 1 , b = 5 , c = - 6
Δ = b² - 4ac = 5² - 4 * 1 * (- 6) = 25 + 24 = 49
√Δ = √49 = 7
z₁ = ( - b - √Δ)/2a = ( - 5 - 7)/2 = - 12/2 = - 6
z₂ = ( - b + √Δ)/2a = ( - 5 + 7)/2 = 2/2 = 1
x²₁ = - 6 , x²₂ = 1
x²₁ = - 6 liczba podniesiona do kwadratu nie może być ujemna
x²₂ = 1
x²₂ - 1 = 0
(x₂ - 1)(x₂ + 1) = 0
x₂ = 1 ∨ x₂ = - 1
Odp: x = 1 lub x = - 1
