Odpowiedź:
(6x² + 13x- 5)/(4 - x²) : (3x²+ 20x -7)/(- x² - 5x + 14) = (x+ 1)/(3x-1)
1. Obliczamy dziedzinę wyrażenia
założenie :
4 - x² ≠ 0
(2 - x)(2 + x) ≠ 0
- x ≠ - 2 ∧ x ≠ - 2
x ≠ 2 ∧ x ≠ - 2
- x² - 5x + 14 ≠ 0
Obliczamy miejsca zerowe
- x² - 5x + 14 = 0
a = - 1 , b = - 5 , c = 14
Δ = b² - 4ac = (- 5)² - 4 * (- 1) * 14 = 25 + 56 = 81
√Δ= √81 = 9
x₁ = ( - b - √Δ)/2a = ( 5 - 9)/(- 2) = - 4/(- 2) = 4/2 = 2
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (5 + 9)/(- 2) = 14/(- 2) = - 14/2 = - 7
- x² - 5x + 14 = - (x - 2)(x+ 7)
x - 2 ≠ 0 ∧ x + 7 ≠ 0
x ≠ 2 ∧ x ≠ - 7
3x - 1 ≠ 0
3x ≠ 1
x ≠ 1/3
D: x ∈ R - { - 2 , - 7 , - 2 , 1/3 , 2 , }
2.
Obliczamy miejsca zerowe liczników wyrażenia z lewej strony
6x² + 13x- 5 = 0
a = 6 , b = 13 , c = - 5
Δ = b² - 4ac = 13² - 4 * 6 * (- 5) = 169 + 120 = 289
√Δ= √289 = 17
x₁ = ( - b - √Δ)/2a = ( - 13 - 17)/12 = - 30/12 = - 5/2 = - 2 1/2 = - 2,5
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (- 13 + 17)/6 = 4/6 = 2/3
6x² + 13x- 5 = 6(x - 2,5)(x-2/3)
3x² + 20x - 7 = 0
a = 3 , b = 20 , c = - 7
Δ = b² - 4ac = 20² - 4 * 3 * (- 7) = 400 + 84 = 484
√Δ= √484 = 22
x₁ = ( - b - √Δ)/2a = ( - 20 - 22)/6 = - 42/6 = - 7
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (- 20 + 22)/6 = 2/6 = 2/3
3x² + 20x - 7 = 3(x + 7)(x - 2/3)
Wyrażenie ma postać :
[6(x - 2,5)(x-2/3)]/[(2 - x)(2 + x)] : [3(x + 7)(x - 2/3)]/[- (x-2)(x+7)] = (x + 1)/(3x-1)
Rozpatrzmy lewą stronę równania
[6(x - 2,5)(x-2/3)]/[(2 - x)(2+x)] * [- (x - 2)(x + 7)]/[3(x - 2/3)(x+7)]
Z podkreślonego wyrażenia wyciągamy (- )przed nawias
[6(x-2,5)(x - 2/3)]/[- (x - 2)(2+x)] * [- (x - 2)(x + 7)]/[3(x - 2/3)(x + 7)
Podkreślone wyrażenia skracamy
[6(x - 2,5)]/[- (2 + x)] * [- (x + 7)/[3(x + 7)]
Podkreślone wyrażenia skracamy
[6(x-2,5)]/[-(2+x)] * (- 1/3) = [- 2(x-2,5)/[- (2 + x)]
Ostatecznie mamy równanie:
[- 2(x-2,5)/[- (2 + x)] = (x + 1)/(3x- 1 )
-2(x - 2,5)(3x - 1) = - (2 + x)(x + 1)
- 2(3x²- 7,5x - x + 2,5 = - (2x + x² + 2 + x )
- 2(3x²-8,5x + 2,5) = - (x² + 3x + 2)
- 6x² + 17x - 5 = - x² - 3x - 2
- 6x² + x² + 17x + 3x - 5 + 2 = 0
- 5x² + 20x - 3 = 0
a = - 5 , b = 20 , c = - 3
Δ = b² - 4ac = 20² - 4 * (- 5) * (- 3) = 400 - 60 = 340
√Δ= √340 = √(4 * 85) = 2√85
x₁ = ( - b - √Δ)/2a = (- 20 - 2√85)/(- 10) = - 2(10 +√85)/(- 10)= (10 + √85)/5
x₂ = (- b + √Δ)/2a = (- 20 + 2√85)/(- 10)= 2(√85 - 5)/(- 10) = - (√85 -5)/5
