Zadanie 1.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Policzymy wysokość H i połowę przekątnej d z funkcji trygonometrycznych kąta 60°.
[tex]\sin60^\circ=\frac{H}{10}\\\frac{\sqrt3}{2}=\frac{H}{10}\ |*10\\H=\frac{\sqrt3}{2}*10\\H=5\sqrt3\\\\\cos60^\circ=\frac{\frac{1}{2}d}{10}\\\frac{1}{2}=\frac{\frac{1}{2}d}{10}\ |*10\\5=\frac{1}{2}d\ |*2\\d=10[/tex]
Policzmy pole podstawy ze wzoru na pole rombu (bo kwadrat też jest rombem, więc wzór jest skuteczny).
[tex]P_p=\frac{d*d}{2}=\frac{10*10}{2}=50[/tex]
Zatem objętość ostrosłupa to:
[tex]V=\frac{1}{3}P_p*H=\frac{1}{3}*50*5\sqrt3=\frac{250}{3}\sqrt3=83\frac{1}{3}\sqrt3[/tex]
Zadanie 2.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
[tex]\text{tg}\alpha=\frac{2}{x}\\0,2=\frac{2}{x}\ |*x\\0,2x=2\ |:0,2\\x=10[/tex]
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym spodek wysokości jest środkiem ciężkości podstawy (trójkąta równobocznego), czyli punktem przecięcia wysokości tego trójkąta. Wysokości przecinają się w stosunku 1:2, czyli odcinek x to 1/3 wysokości podstawy. Zatem
[tex]\frac{1}{3}h_p=x\\\frac{1}{3}h_p=10\ |*3\\h_p=30[/tex]
Policzmy długość krawędzi podstawy ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego.
[tex]\frac{a\sqrt3}{2}=30\ |*2\\a\sqrt3=60\ |:\sqrt3\\a=\frac{60}{\sqrt3}*\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{60\sqrt3}{3}=20\sqrt3[/tex]
Policzmy pole podstawy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego.
[tex]P_p=\frac{a^2\sqrt3}{4}=\frac{(20\sqrt3)^2\sqrt3}{4}=\frac{400*3*\sqrt3}{4}=300\sqrt3[/tex]
Zatem objętość ostrosłupa to:
[tex]V=\frac{1}{3}P_p*H=\frac{1}{3}*300\sqrt3*2=100\sqrt3*2=200\sqrt3[/tex]
Zadanie 3.
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.
Odcinek łączący spodek wysokości i wierzchołek podstawy to połowa przekątnej kwadratu, więc wyliczymy jego długość jako
[tex]\frac{a\sqrt2}{2}[/tex]
Z tw. Pitagorasa mamy:
[tex]a^2=(\frac{a\sqrt2}{2})^2+5^2\\a^2=\frac{a^2*2}{4}+25\\a^2=\frac{a^2}{2}+25\ |*2\\2a^2=a^2+50\\a^2=50\\a=\sqrt{50}\\a=5\sqrt2[/tex]
Pole powierzchni całkowitej to suma pola podstawy i pola bocznego. W tym przypadku podstawą jest kwadrat, a pole boczne składa się z 4 trójkątów równobocznych. Zatem
[tex]P=P_p+P_b\\P=a^2+4*\frac{a^2\sqrt3}{4}=a^2+a^2\sqrt3\\P=(5\sqrt2)^2+(5\sqrt2)^2*\sqrt3=50+50\sqrt3[/tex]
