Środkowa to odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. {Rysunek pomocniczy w załączniku.}
Zatem:
|AD| = |BD| = 0,5|AB| = 5 cm
a)
Korzystając z twierdzenia cosinusów dla trójkąta ABC (względem ∡A), otrzymujemy:
|BC|² = |AC|² + |AB|² - 2|AC||AB|·cos∡A
Czyli:
[tex](2\sqrt{21}\,)^2=8^2+10^2-2\cdot8\cdot10\cdot\cos\angle A\\\\84=64+100-160\cdot\cos\angle A\\\\160\cdot\cos\angle A=164-84\qquad/:160\\\\\cos\angle A=\dfrac{80}{160}=\dfrac12\quad\implies\quad |\angle A|=60^o[/tex]
Korzystając z tego twierdzenia dla trójkąta ACD (również względem ∡A), mamy:
|CD|² = |AC|² + |AD|² - 2|AC||AD|·cos∡A
Stąd:
[tex]|CD|^2=8^2+5^2-2\cdot8\cdot5\cdot\frac12\\\\|CD|^2=64+25-40\\\\ |CD|^2=49\qquad\quad\{\wedge\quad|CD| > 0\}\\\\\large\boxed{\,\bold{|CD|=7\,cm}\,}[/tex]
b)
Jeśli z wierzchołka C opuścimy wysokość CE, to możemy jej długość wyliczyć z sinusa kąta A:
[tex]\sin\angle A=\dfrac{|CE|}{|AC|}\\\\\sin60^o=\dfrac{|CE|}8\qquad/\cdot8\\\\\dfrac{\sqrt3}2\cdot8=|CE|\\\\|CE|=4\sqrt3\ cm[/tex]
Czyli pole trójkąta ACD:
[tex]P=\frac12\|AD||CE|\\\\P=\frac12\cdot5\cdot4\sqrt3\\\\\large\boxed{\,\bold{P=10\sqrt3\ cm^2}\,}[/tex]
