Zad. 1
[tex]\text{Ostroslup prawidlowy czworokatny ma w podstawie czworokat rownoboczny, czyli kwadrat}\\a - \text{krawedz podstawy}\\b - \text{krawedz boczna}\\\text{Jezeli krawedz boczna jest nachylona do krawedzi podstawy pod danym katem}\text{ oznacza to, ze}\\\text{ tworzy ona wraz z polowa przekatnej podstawy oraz wysokoscia bryly trojkat prostokatny}\\\text{rysunek w zalaczniku}.[/tex]
[tex]a=6\\\alpha=30[/tex]
[tex]\text{Z wlasnosci trojkata o katach 90, 60 i 30 stopni wynika, ze}[/tex]
[tex]b=2h\\\frac12d=h\sqrt3[/tex]
[tex]d=a\sqrt2\\d=6\sqrt2\\\frac12d=3\sqrt2\\h\sqrt3=3\sqrt2 /:\sqrt3\\h=\frac{3\sqrt2}{\sqrt3}*\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{3\sqrt6}3=\sqrt6[/tex]
[tex]V=\frac13Pp*h\\Pp=a^2 \to 6^2=36\\V=\frac13*36*\sqrt6=12\sqrt6[/tex]
Zad. 2
[tex]\text{Sinus to stosunek dlugosci przyprostokatnej lezacej na przeciwko kata }\alpha\\\text{do przeciwprostokatnej}[/tex]
[tex]\text{Punkt przeciecia wysokosci h trojkata rownobocznego dzieli ja na odcinki o dlugosci}\\\frac13h \text{ i } \frac23h[/tex]
[tex]\text{Rysunek w zalaczniku}[/tex]
[tex]H - \text{wysokosc ostroslupa}\\h_b - \text{wysokosc sciany bocznej}\\h_p - \text{wysokosc podstawy}[/tex]
[tex]H=3[/tex]
[tex]sin\alpha=\frac{H}{h_b}\\sin\alpha=0.6\\\\0.6=\frac{3}{h_b} /*h_b\\0.6h_b=3 /*10\\6h_b=30 /:6\\h_b=5\\\\sin^2\alpha+cos^2alpha=1\\0.6^2+cos^2\alpha=1 \\0.36+cos^2\alpha=1 /-0.36\\cos^2\alpha=0.64\\cos\alpha=0.8\\0.8=\frac{\frac13h_p}{h_b}\\0.8=\frac{\frac13h_p}5 /*5\\4=\frac13h_p /*3\\12=h_p[/tex]
[tex]\text{W podstawie tego ostroslupa jest trojkat rownoboczny. }\\\text{Wiemy zatem, ze jego wysokosc jest rowna } \frac{a\sqrt3}2[/tex]
[tex]\frac{a\sqrt3}2=12 /*2\\a\sqrt3=24 /:\sqrt3\\a=\frac{24}{\sqrt3}*\frac{\sqrt3}{\sqrt3}=\frac{24\sqrt3}3=8\sqrt3[/tex]
[tex]\text{Pole powierzchni calkowitej tego ostroslupa jest rowne}\\\text{sumie pola podstawy i trzech jego scian bocznych}\\Pp=\frac{a^2\sqrt3}4 \to \frac{(8\sqrt3)^2\sqrt3}4=48\sqrt3\\Pb=\frac{ah_b}2=\frac{8\sqrt3*5}2=20\sqrt3\\Pc=Pp+3Pb \to 48\sqrt3+3*20\sqrt3=48\sqrt3+60\sqrt3=108\sqrt3[/tex]
Zad. 3
[tex]\text{Jezeli n to ilosc krawedzi podstawy, to suma wszystkich krawedzi }\\\text{ostroslupa, jest rowna 2n (n krawedzi podstawy i n krawedzi bocznych)}\\n=6\\2n=2*6=12[/tex]
[tex]a - \text{krawedz podstawy}\\b - \text{krawedz boczna}\\a=\frac12b /*2\\2a=b\\\\6a+6b=108\\6a+6*2a=108\\6a+12a=108\\18a=108/:18\\a=6\\b=2*6=12[/tex]
[tex]\text{Pole powierzchni bocznej tego ostroslupa sklada sie z szesciu }\\\text{trojkatow rownoramiennych o podstawie a i krawedzi bocznej b}[/tex]
[tex]\text{Wyznaczamy wysokosc sciany bocznej:}\\(\frac12a)^2+h_b^2=b^2\\3^2+h_b^2=12^2\\9+h_b^2=144 /-9\\h_b^2=135\\h_b=\sqrt{9*15}=3\sqrt{15}\\\text{Wyznaczamy pole sciany bocznej}\\Pb=\frac{a*h_b}2 \to \frac{6*3\sqrt{15}}2=9\sqrt{15}[/tex]
[tex]\text{Wyznaczamy pole powierzchni bocznej:}\\Pb_c=6Pb \to 6*9\sqrt{15}=54\sqrt{15}[/tex]
