Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDE wynosi 144 cm², zaś objętość - 64 cm³.
Skąd to wiadomo?
Ostrosłup prawidłowy czworokątny charakteryzuje się tym, że jego podstawa to kwadrat, zaś ściany boczne trójkąty równoramienne.
Pole powierzchni kwadratu obliczamy ze wzoru:
[tex]P=a^{2}[/tex], gdzie a to długość boku.
Pole powierzchni trójkąta obliczamy ze wzoru:
[tex]P=\frac{ah}{2}[/tex], gdzie a to podstawa, a h - wysokość.
Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa obliczamy ze wzoru:
[tex]P_{c} =P_{p} +4*P_{b} \\P_{c} =a^{2} +4*\frac{ah}{2}[/tex]
Twierdzenie Pitagorasa również będzie pomocne w zadaniu. Jeśli mamy do czynienia z trójkątem prostokątnym to:
[tex]a^{2} +b^{2} =c^{2}[/tex], gdzie a i b to przyprostokątne, a c - przeciwprostokątna.
Objętość ostrosłupa liczymy ze wzoru:
[tex]V=\frac{P_{p}*h}{3}[/tex], gdzie w naszym przypadku h jest równe odcinkowi EF (3 cm).
Krok 1
Znana jest długość krawędzi podstawy ostrosłupa. Wynosi ona 8 cm. I to jest nasze a.
Jak znaleźć h? Korzystając z twierdzenia Pitagorasa.
I tak:
- h to będzie c,
- a będzie wynosić połowę odcinka AB, czyli 4 cm,
- b będzie wynosić 3 cm (to odcinek EF).
[tex]4^{2} +3^{2} =c^{2} \\16 + 9 = c^{2} \\c^{2} =25\\c=5 (cm)[/tex]
A zatem wysokość trójkąta, który jest ścianą boczną ostrosłupa wynosi 5 cm.
Krok 2
Można teraz obliczyć pole powierzchni całkowitej ostrosłupa:
[tex]P_{c} =8^{2} +4*\frac{8*5}{2}=64+2*40=64+80=144 (cm^{2} )[/tex]
Krok 3
Obliczmy teraz objętość bryły:
[tex]V=\frac{8^{2}*3}{3}= 64(cm^{3} )[/tex]
