Licznik pewnego ułamka jest o 2 mniejszy niż mianownik.
Jeśli licznik tego ułamka powiększymy o 9, a mianownik o 5 ,
to wartość ułamka wzrośnie dwukrotnie.
Wyznacz ten ułamek.
Oznaczymy :
x - licznik ułamka
x + 2 - mianownik tego ułamka
x / (x + 2) - dany ułamek
- wprowadzamy zmiany do ułamka :
x + 9 - nowy licznik ułamka
x + 2 + 5 = x + 7 - nowy mianownik ułamka
(x + 9) / (x + 7) - nowy ułamek
Rozwiązanie :
2 * x / (x + 2) = (x + 9) / (x + 7)
2 x * (x + 7) = (x + 2) (x + 9)
2 x² + 14 x = x² + 9 x + 2 x + 18
2 x² + 14 x = x² + 11 x + 18
2 x² - x² + 14 x - 11 x - 18 = 0
x² + 3 x - 18 = 0
Δ = 3² - 4 * 1 * (- 18) = 9 + 72 = 81 = 9²
x₁ = (- 3 - 9) / 2 = - 12 / 2 = - 6
x₂ = (- 3 + 9) / 2 = 6 / 2 = 3
- mamy dwa rozwiązania :
x₁ = - 6
x₂ = 3
- wyznaczamy wartość szukanego ułamka :
- dla x₁ = - 6
- 6 / (- 6 + 2) = - 6 / (- 4) = 6/4 = 3/2
Ten ułamek nie spełnia warunków postawionych w zadaniu !
- dla x₂ = 3
3 / (3 + 2) = 3/5
Odpowiedź : Szukany ułamek, to 3/5.
