Odpowiedź:
[tex]\huge\boxed{a) \ y=(x-1)^2+2}[/tex]
[tex]\huge\boxed{b) \ y=16(x+\frac{3}{4})^2-5}[/tex]
[tex]\huge\boxed{c) \ y=9(x-\frac{1}{3})^2-10}[/tex]
[tex]\huge\boxed{d) \ y=-3(x+4)^2+50}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
- Czym jest postać kanoniczna funkcji kwadratowej i jaki jest jej wzór?
Postać kanoniczna funkcji kwadratowej to postać, w której obliczamy najpierw współrzędne wierzchołka funkcji (W = (p, q)), a następnie podstawiamy do wzoru:
[tex]y=a(x-p)^2+q\\\\p=\frac{-b}{2a}\\\\q=\frac{-\Delta}{4a} \ (\Delta=b^2-4ac)[/tex]
Zauważamy we wzorach na współrzędne wierzchołka pewne literki. Są to współczynniki, które odczytujemy ze wzoru na postać ogólną funkcji kwadratowej:
[tex]y=ax^2+bx+c[/tex]
Kroki rozwiązania każdego z przykładów:
- wypisanie współczynników a, b oraz c
- obliczenie wyróżnika funkcji (Δ)
- obliczenie współrzędnych wierzchołka
- podstawienie do wzoru na postać kanoniczną
Podpunkt a)
[tex]y=x^2-2x+3\\\\a=1, \ b=-2, \ c=3\\\\\Delta=(-2)^2-4\cdot1\cdot3=4-12=-8\\\\p=\frac{-(-2)}{2\cdot1}=\frac{2}{2}=1\\\\q=\frac{-(-8)}{4\cdot1}=\frac{8}{4}=2\\\\y=(x-1)^2+2[/tex]
Podpunkt b)
[tex]y=16x^2+24x+4\\\\a=16, \ b=24, \ c=4\\\\\Delta=24^2-4\cdot16\cdot4=576-256=320\\\\p=\frac{-24}{2\cdot16}=-\frac{24}{32}=-\frac{3}{4}\\\\q=\frac{-320}{4\cdot16}=\frac{-320}{64}=-5\\\\y=16(x-(-\frac{3}{4}))^2+(-5)\\\\y=16(x+\frac{3}{4})^2-5[/tex]
Podpunkt c)
[tex]y=9x^2-6x-9\\\\a=9, \ b=-6, \ c=-9\\\\\Delta=(-6)^2-4\cdot9\cdot(-9)=36+324=360\\\\p=\frac{-(-6)}{2\cdot9}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}\\\\q=\frac{-360}{4\cdot9}=\frac{-360}{36}=-10\\\\y=9(x-\frac{1}{3})^2+(-10)\\\\y=9(x-\frac{1}{3})^2-10[/tex]
Podpunkt d)
[tex]y=-3x^2-24x+2\\\\a=-3, \ b=-24, \ c=2\\\\\Delta=(-24)^2-4\cdot(-3)\cdot2=576+24=600\\\\p=\frac{-(-24)}{2\cdot(-3)}=\frac{24}{-6}=-4\\\\q=\frac{-600}{4\cdot(-3)}=\frac{-600}{-12}=50\\\\y=-3(x-(-4))^2+50\\\\y=-3(x+4)^2+50[/tex]
