Geometria analityczna - czworościan - równanie płaszczyzny
- Prosta zawierająca krawędź [tex]AB[/tex] czworościanu opisana jest równaniem:
[tex]z=f(x,y) = ax+by+c[/tex]
zatem równanie prostej przechodzącej przez punkty [tex]A[/tex] i [tex]B[/tex] musi spełniać:
[tex]\left \{ {{3=5a+b+c} \atop {2=a+6b+c}} \right.[/tex]
Dla dowolnego parametru [tex]c[/tex] powyższe jest równoznaczne z równaniem płaszczyzny zawierającej krawędź AB. - Z kolei analogicznie dla prostej CD:
[tex]z=f(x,y) = a'x+b'y+c'[/tex]
dostajemy układ równań:
[tex]\left \{ {{4=5a'+0+c'} \atop {6=4a'+0+c'}} \right.[/tex]
o rozwiązaniu:
[tex]a' = -2\\c' = 14[/tex]
oznaczającym prostą:
[tex]z = -2x +14[/tex] - Dowolna prosta równoległa do powyższej opisana jest równaniem:
[tex]z= -2x + dy+e[/tex]
co jest tożsame z:
[tex]1 = -2a + b +c[/tex] - Mamy więc trzecie równanie, które to razem z układem równań (z pkt.1) dają nam:
[tex]a=-2\\b=-17\\c=14[/tex]
tożsame z równaniem płaszczyzny:
[tex]z = -2x-17y+14[/tex]
W ogólności równanie płaszczyzny w [tex]\mathbb{R}^3[/tex] jest postaci:
[tex]0=ax+by+cz+d[/tex]
ale przenosząc [tex]cz[/tex] na lewą stronę równania i dzieląc przez [tex]c[/tex], dostaniemy:
[tex]z = -\frac{a}{c} x - \frac{b}{c} y - \frac{d}{c}[/tex]
co po odpowiednim uproszczeniu oznaczenia stałych parametrów odtworzy nam równanie postaci takiej jak w pkt.1.
