Odpowiedź:
Dla przedziału (-3, 3):
[tex]f_{min} = f(-3) = -32\\f_{max} = f(3) = 16\\[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Jeśli znamy wzór skróconego mnożenia
(a + b)² = a² + 2ab + b²
to bardzo łatwo można doprowadzić wzór funkcji kwadratowej
ax²+ bx +c do tzw. postaci kanonicznej:
y = a(x - p)² + q
z której możemy zauważyć, że dla x = p funkcja ma wartość q, a punkt (p, q) nazywamy wierzchołkiem funkcji. Przy czym jeśli a > 0, to w wierzchołku jest minimum funkcji, a dla a < 0 mamy maksimum. Nasza funkcja ma a < 0, więc w wierzchołku będzie maksimum, za czym idzie wniosek, że na lewo od punktu x = p funkcja rośnie, a na prawo od wierzchołka - maleje.
Przekształćmy funkcję do postaci kanonicznej (można użyć gotowych wzorów, ja zaś wyliczę bez nich):
Ponieważ -(x - 4)² + 4² = -(x² - 8x + 16) + 16 = -x² + 8x - 16 + 16 = -x² + 8x
to:
f(x) = -x² + 8x + 1 = -(x - 4)² + 4² + 1 = -(x - 4)² + 17
Zatem wierzchołek (maksimum) będzie w punkcie (4, 17).
Wierzchołek ma współrzędną x = p = 4 na prawo od danego przedziału (-3, 3), a więc zgodnie z wcześniejszym wywodem w całym tym przedziale funkcja rośnie. Wynika z tego, że dla x = -3 ma wartość najmniejszą, a dla x = 3 - największą. Wyliczamy te wartości:
f(-3) = -(-3)² + 8(-3) + 1 = -9 -24 + 1 = -32
f(3) = -(3)² + 8(3) + 1 = -9 + 24 + 1 = 16
Maksimum funkcji kwadratowej możemy także wyliczyć ze wzoru na pierwszą pochodną funkcji, która w punkcie maksimum lub minimum przyjmuje wartość 0.
Obliczmy pierwszą pochodną, oznaczaną zwykle apostrofem i czytaną jako "f prim":
f'(x) = -2x²⁻¹ + 8x¹⁻¹ + 0 = -2x + 8
Oczywiście korzystałem ze wzoru na pochodną dla funkcji g(x) = axⁿ,
dla której pierwsza pochodna g'(x) = anxⁿ⁻¹ oraz dla funkcji stałej h(x) = c mamy h'(x) = 0.
Przyrównujemy f'(x) do zera, aby znaleźć wierzchołek funkcji:
f'(x) = -2x + 8 = 0
x = 8 / 2 = 4
A więc wyliczenie z postaci kanonicznej i pierwszej pochodnej dało ten sam wynik p = 4. Łatwo też zauważyć, że jeśli w pobliżu wierzchołka pierwsza pochodna przechodzi z wartości dodatnich do ujemnych, to w wierzchołku, gdzie pochodna jest zerowa, jest maksimum (inaczej będzie minimum).
