Odpowiedź:
[tex]3\leqslant m < 4[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
[tex]x^2-2x+m-3=0[/tex]
Aby równanie miało dwa różne pierwiastki, jego delta musi być dodatnia. Policzmy ją:
[tex]\Delta = b^2-4\cdot a\cdot c=(-2)^2-4\cdot 1\cdot (m-3)=4-4m+12=16-4m[/tex]
dla jakich wartości m delta będzie dodatnia?
[tex]16-4m > 0\\16 > 4m\\m < 4[/tex]
To pierwszy warunek jaki musi spełniać m.
Pierwiastki będą tego samego znaku jeśli ich iloczyn będzie nieujemny. Tu konieczna jest uwaga: Zakładam, że zero może być traktowane zarówno jako liczba dodatnia jak i ujemna, więc zakładam, że zero i dowolna liczba będą tego samego znaku. Jeżeli chcemy odrzucić taki przypadek druga nierówność powinna być ostra.
Policzmy to
[tex]x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{2-\sqrt{16-4m}}{2}=1-\sqrt{4-m}\\\\x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{2+\sqrt{16-4m}}{2}=1+\sqrt{4-m}\\\\x_1\cdot x_2=(1-\sqrt{4-m})\cdot(1+\sqrt{4-m})=1-(4-m)=1-4+m=m-3[/tex]
iloczyn ten musi być nieujemny, więc
[tex]m-3\geqslant 0\\m\geqslant 3[/tex]
To drugi warunek jaki musi spełniać m. Po połączniu:
[tex]3\leqslant m < 4[/tex]
