Odpowiedź:
Środkowa BE i bok AC, na którą jest opuszczona, mają tę samą długość BE = AC = [tex]2\sqrt{10}[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Dodam treść zadania, bo skan jest mało czytelny i trudno będzie to zadanie odszukać w sieci:
Jedna ze środkowych - AD, BE lub CF - trójkąta o wierzchołkach A(-5, 2), B(4, 1), C(1, 4) ma długość równą długości boku, do którego została poprowadzona. Która to środkowa? Podaj jej długość.
Mając dane współrzędne wszystkich wierzchołków trójkąta łatwo możemy wyliczyć długości jego boków oraz współrzędnych ich środków, po których wyliczeniu można obliczyć długości środkowych. Trzeba wiedzieć, że środkowa trójkąta to odcinek łączący jego wierzchołek ze środkiem boku leżącym naprzeciw tego wierzchołka; wszystkie środkowe przecinają się w tzw. środku ciężkości trójkąta (gdybyśmy wycięli trójkąt z kartonu i podparli w tym środku na jakimś ostrzu, np. igle, to trójkąt pozostałby na tym ostrzu w pozycji poziomej).
Obliczenie długości boków wykonamy odejmując współrzędne x i y poszczególnych wierzchołków i stosując tw. Pitagorasa:
[tex]AB=\sqrt{(- 5-4)^{2}+ {(2-1) }^{2} } = \sqrt{81 + 1} = \sqrt{82}\\BC=\sqrt{(4-1) ^{2} + {(1-4) }^{2} } = \sqrt{2\cdot9} = 3\sqrt{2} \\ AC=\sqrt{( - 5 - 1) ^{2} + {(2 - 4) }^{2} } = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{4\cdot10}=2\sqrt{10}[/tex]
Środki boków obliczamy przez wyliczenie średnich arytmetycznych ich wierzchołków:
[tex]F(\frac{ - 5 + 4}{2} , \frac{2 + 1}{2})=(\frac{ -1}{2} , \frac{3}{2})\\\\D(\frac{4+1}{2} , \frac{1+4}{2})=(\frac{5}{2},\frac{5}{2})\\\\E(\frac{-5+1}{2} , \frac{2+4}{2})=(-2,3)[/tex]
Długości środkowych:
[tex]AD=\sqrt{(- 5-2,5)^{2}+ {(2-2,5) }^{2} } =0,5 \sqrt{226}\\BE=\sqrt{(4+2) ^{2} + {(1-3) }^{2} } = \sqrt{36+4}=\sqrt{4\cdot10}=2\sqrt{10} \\ CF=\sqrt{(1 +\frac{1}{2}) ^{2} + {(4 - \frac{3}{2}) }^{2} } = 0,5 \sqrt{9+ 25} = 0,5\sqrt{34}[/tex]
Porównujemy długości boków i środkowych trójkąta i tylko jest jedna równość:
AC = BE = [tex]2\sqrt{10}[/tex]
i rzeczywiście BE jest środkową poprowadzoną do boku AC.
