Odpowiedź:
[tex]X=\left[\begin{array}{ccc}0&\frac{1}{2} \\-1&-\frac{9}{2} \\1&\frac{13}{2} \end{array}\right][/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Równanie:
[tex]\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\1&3&2\\0&1&1\end{array}\right] \cdot X =\left[\begin{array}{cccc}0&1\\-1&0\\0&2\end{array}\right][/tex]
Niech:
[tex]A=\left[\begin{array}{ccc}2&0&0\\1&3&2\\0&1&1\end{array}\right][/tex]
[tex]B=\left[\begin{array}{cccc}0&1\\-1&0\\0&2\end{array}\right][/tex]
Na początek sprawdzamy, czy istnieje [tex]A^{-1}[/tex] :
[tex]\det(A)=2 \cdot \left|\begin{array}{cc}3&2\\1&1\end{array}\right|=2(3-2)=2 \neq 0[/tex]
Zatem macierz odwrotna istnieje. Rozwiązaniem równania będzie:
[tex]$X=A^{-1}B[/tex]
Znajdujemy macierz odwrotną:
[tex]$A^{-1}=\frac{1}{\det(A)} \cdot (A^{D})^{T}[/tex]
Dopełnienia algebraiczne:
[tex]d_{11}=1[/tex]
[tex]d_{12}=-1[/tex]
[tex]$d_{13}=1[/tex]
[tex]$d_{21}=0[/tex]
[tex]d_{22}=2[/tex]
[tex]d_{23}=-2[/tex]
[tex]d_{31}=0[/tex]
[tex]d_{32}=-4[/tex]
[tex]d_{33}=6[/tex]
Zatem:
[tex]A^{D}=\left[\begin{array}{ccc}1&-1&1\\0&2&-2\\0&-4&6\end{array}\right] \Rightarrow (A^{D})^{T}=\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-1&2&-4\\1&-2&6\end{array}\right][/tex]
Macierz odwrotna:
[tex]$A^{-1}=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-1&2&-4\\1&-2&6\end{array}\right][/tex]
Zatem:
[tex]$X=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\-1&2&-4\\1&-2&6\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{cccc}0&1\\-1&0\\0&2\end{array}\right]=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ccc}0&1\\-2&-9\\2&13\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}0&\frac{1}{2} \\-1&-\frac{9}{2} \\1&\frac{13}{2} \end{array}\right][/tex]
