Odpowiedź:
[tex]$S=216$[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Analizowany graniastosłup ma w podstawie kwadrat.
Przyjmijmy zmienne wyrażające długość krawędzi podstawy oraz długość krawędzi bocznej
[tex]$a \ - \ \mathrm{dlugosc \ krawedzi \ podstawy}$[/tex]
[tex]$b \ - \ \mathrm{dlugosc \ krawedzi \ bocznej}$[/tex]
przy czym
[tex]$a\in\mathbb{R_+}$[/tex]
oraz
[tex]$b\in\mathbb{R_+}$[/tex]
Stwórzmy teraz funkcję opisującą objętość tego graniastosłupa:
[tex]$V(a,b)=a^2\cdot b$[/tex]
By przejść na funkcję jednej zmiennej wykorzystamy zależność wiążącą długość wszystkich krawędzi i wyznaczymy jedną ze zmiennych
[tex]$72=8a+4b$[/tex]
[tex]$b=18-2a$[/tex]
Możemy teraz przejść na funkcje jednej zmiennej
[tex]$V(a,18-2a)=-2a^3+18a^2$[/tex]
zatem funkcja opisująca objętość tego graniastosłupa w zależności od długości krawędzi podstawy to
[tex]$V(a)=-2a^3+18a^2$[/tex]
Szukamy maksimum tej funkcji - obliczamy pochodną i szukamy jej miejsc zerowych
[tex]$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}V(a)=-6a^2+36a$[/tex]
[tex]$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}V(a)=0 \ \Longleftrightarrow a=0 \ \vee \ a=6$[/tex]
Ze względu na naszą dziedzinę nie musimy nawet rozważać [tex]a=0[/tex]
Badamy znak pochodnej w otoczeniu punktu stacjonarnego [tex]a=6[/tex]
[tex]$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}a}V(a)=f(a) $[/tex]
[tex]$f(5)=30$[/tex]
[tex]$f(7)=-42$[/tex]
Znak pochodnej zmienia się z dodatniego na ujemny, zatem w punkcie [tex]a=6[/tex] mamy maksimum lokalne o wartości [tex]$V_{max}(6)=216$[/tex]
Obliczamy długość krawędzi bocznej
[tex]$b=18-2a=6$[/tex]
Obliczamy pole
[tex]$S=2a^2+4ab=216$[/tex]
