Zadanie dotyczy rozkładu wielomianu na czynniki.
Chcąc rozłożyć wielomian na czynniki należy rozpisać ten wielomian za pomocą iloczynu wyrażeń o mniejszych potęgach.
Przydatne metody:
- grupowanie wyrazów
- wzory skróconego mnożenia
- 'delta' - wyróżnik trójmianu kwadratowego
- wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias
Przykłady z zadania:
a) wyciągamy największy możliwy czynnik przed nawias - w tym przykładzie będzie to 'x', następnie korzystamy z wzoru skróconego mnożenia:
[tex]a^2 - b^2 = (a - b)(a+b)[/tex]
[tex]\boxed{u(x) = x - 7x^3 = x(1 - 7x^2) = x(1-\sqrt{7}x)(1+\sqrt{7}x)}[/tex]
b) wyciągamy największy możliwy czynnik przed nawias - w tym przykładzie będzie to '6x' a następnie korzystamy z wzoru skróconego mnożenia:
[tex](a +b)^2 = a^2 + 2ab +b^2[/tex]
[tex]\boxed{u(x) = 6x^3 + 12x^2 + 6x = 6x(\underline{x^2 + 2x + 1}) = 6x \underline{(x+1)}^2}[/tex]
c) wyciągamy największy możliwy czynnik przed nawias - w tym przykładzie będzie to 'x³' a następnie stosujemy odpowiednie grupowanie wyrazów.
[tex]\boxed{u(x)=2x^5-x^4-x^3 = x^3(2x^2 - x - 1) = x^3(x-1)(2x + 1)}[/tex]
Obliczenia pomocnicze - grupowane wyrazów:
[tex]2x^2 - x - 1 = 2x^2 + x - 2x - 1 = x(2x +1 ) - 1(2x + 1) = (x-1)(2x + 1)[/tex]
d) wyciągamy największy możliwy czynnik przed nawias - w tym przykładzie będzie to 'x²' a następnie korzystamy z wzoru skróconego mnożenia:
[tex]a^3- b^3 = (a-b)(a^2 + ab+b^2)[/tex]
a następnie po raz kolejny z wzoru skróconego mnożenia:
[tex](a + b)^2 = a^2 + 2ab +b^2[/tex]
[tex]\boxed{u(x) = x^5 - 8x^2 = x^2 \underline{(x^3 - 8)} = x^2\underline{ (x - 2)(x^2 +2x +4)}}[/tex]
Obliczenia pomocnicze:
[tex]x^3 - 8 = x^3 - 2^3[/tex]
[tex]a = x, b = 2[/tex], czyli zgodnie z wzorem:
[tex]x^3 - 8 = (x-2)(x^2+x \cdot 2 + 2^2) = (x-2)(x^2+2x+4)[/tex]
[tex]x^2 + 2x + 4[/tex] nie da się rozłożyć na czynniki
UWAGA DO PRZYKŁADÓW: Jeśli nie ma się wprawy przy odpowiednim grupowaniu wyrazów czy wzorach skróconego mnożenia - mając równanie kwadratowe: y = ax² + bx + c możemy obliczyć pierwiastki równania z 'delty', a następnie zapisać równanie w postaci iloczynowej:
[tex]y = a(x - x_1)(x - x_2)[/tex]
W ramach przypomnienia:
[tex]\Delta = b^2 - 4ac\\\\\Delta > 0 \rightarrow \\\\x_1 = \cfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \\\\x_2 = \cfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \\\\[/tex]
#SPJ1
