Odpowiedź :
W tym zadaniu musimy ustalić który z podanych punktów kratowych leży na prostej AB.
Poprawną odpowiedzią jest odpowiedź c).
W tym celu wyznaczmy najpierw równanie prostej AB, podstawiając współrzędne punktów do wzoru [tex]y=ax+b[/tex]:
[tex]\left \{ {{-1=-2a+b} \atop {3=4a+b}} \right.[/tex]
mnożymy pierwsze równanie razy -1 i dodajemy równania stronami:
[tex]\left \{ {{1=2a-b} \atop {3=4a+b}} \right.[/tex]
[tex]3+1=2a+4a-b+b[/tex]
[tex]4=6a[/tex]
[tex]a=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}[/tex]
zatem:
[tex]-1=-2a+b\rightarrow-1+2a=b\rightarrow -1+2\cdot \frac{2}{3}=b\rightarrow b=\frac{1}{3}[/tex]
zatem wzór prostej to:
[tex]y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}[/tex]
Podstawmy teraz współrzędne punktów do równania prostej, by sprawdzić, który z nich leży na prostej:
a) (-1,-1)
[tex]-1=\frac{2}{3}\cdot(-1)+\frac{1}{3}[/tex]
[tex]-1=-\frac{2}{3}+\frac{1}{3}[/tex]
[tex]-1\neq-\frac{1}{3}[/tex]
Otrzymaliśmy sprzeczność, zatem punkt nie leży na prostej.
b) (3,2)
[tex]2=\frac{2}{3}\cdot 3+\frac{1}{3}[/tex]
[tex]2\neq2+\frac{1}{3}[/tex]
Otrzymaliśmy sprzeczność, zatem punkt nie leży na prostej.
c) (1,1)
[tex]1=\frac{2}{3}\cdot 1+\frac{1}{3}[/tex]
[tex]1=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}[/tex]
[tex]1=1[/tex]
Otrzymaliśmy równość prawdziwą, zatem punkt leży na prostej.
d) (2,3)
[tex]3=\frac{2}{3}\cdot 2+\frac{1}3{[/tex]
[tex]3=\frac{4}{3}+\frac{1}{3}[/tex]
[tex]3\neq\frac{5}{3}[/tex]
Otrzymaliśmy sprzeczność, zatem punkt nie leży na prostej.