Odpowiedź:
P = 8 [tex]\sqrt{3}[/tex]
O = 4 [tex]\pi[/tex], gdzie [tex]\pi[/tex] = 3,1415...
Szczegółowe wyjaśnienie:
Trapez równoramienny ma ramiona o jednakowej długości oraz oś symetrii prostopadłą do jego podstaw. Jest opisany na kole, czyli koło jest wpisane do niego. Wysokość trapezu jest średnicą tego koła. Jeśli krótszą podstawę oznaczymy przez x, to dłuższa ma długość 3x, co wynika z ich danej proporcji 3:1. Ramię oznaczmy przez y, wtedy możemy napisać wzór na obwód o danej długości:
x + 3x + 2y = 16
4x + 2y = 16
Pole trapezu wyliczamy ze wzoru:
P = (x + 3x) / 2 * h = 2xh
ale h = 2r, gdzie r jest promieniem koła. Czyli
P = 2x2r = 4xr
Ale pole trapezu można także wyliczyć z sumy pól 4 równoramiennych trójkątów, których wysokość jest jednakowa i wynosi r.
Zatem mamy drugie równanie na pole:
P = (3x + x + y + y) * r / 2
Wyrażenie w nawiasach jest obwodem trapezu równym 16, zatem
P = 16 * r / 2 = 8r
Porównujemy oba wzory na pole trapezu:
4xr = 8r
4x = 8
x = 2
Z obwodu trapezu
y = (16 - 4x) / 2 = 4
Zauważyć można, że kąt przy podstawie trapezu jest równy 60°, ponieważ trójkąt utworzony z ramienia trapezu, jego wysokości oraz boku x jest trójkątem prostokątnym i zarazem połową trójkąta równobocznego. Jego wysokość h można wyliczyć z tw. Pitagorasa albo ze wzoru na sinus kąta 60°.
h = 2x * [tex]\sqrt{3}[/tex] / 2 = 2 * [tex]\sqrt{3}[/tex]
Zatem pole trapezu wynosi:
P = (3x + x) * h / 2 = 2xh = 8 [tex]\sqrt{3}[/tex]
Obwód koła wpisanego (choć o to nie pytano) wynosi
o = 2 * pi * r = [tex]\pi[/tex] * h = 2 * [tex]\pi[/tex] * [tex]\sqrt{3}[/tex]
Nas pytają o obwód okręgu opisanego na trapezie. Po zrobieniu szkicu do zadania zauważymy, że promień okręgu opisanego jest równy ramieniu jednego z 4 trójkątów równoramiennych opisanych wcześniej. Można go wyliczyć przy pomocy tw. Pitagorasa z trójkąta przylegającego do krótszej podstawy trapezu:
R² = (h / 2)² + (x / 2)²
R² = 3 + 1 = 4
R = [tex]\sqrt{4}[/tex] = 2
Obwód okręgu opisanego wynosi:
O = 2 * [tex]\pi[/tex] * R = 4 [tex]\pi[/tex]
Mam nadzieję, że wszystko zrozumiałe. Trochę się namęczyłem pisząc z komórki, zwłaszcza że edytor na stronie brainly.pl szwankuje - trzeba kasować powielane znaki. Do poprawki, drodzy Administratorzy! ;)
Poprawiłem na stronie w kompie.
