Witaj :)
Naszym zadaniem jest określenie dziedziny dwóch funkcji:
Podpunkt a
[tex]\Large \boxed{y=\frac{\sqrt{x+4}}{\sqrt{x-6}} }[/tex]
Aby określić dziedzinę takiej funkcji, musimy zastanowić się nad mianownikiem naszego ułamka. Po pierwsze mianownik nie może być zerem, ponieważ dzielenie przez zero jest niewykonalne. Po drugie, ponieważ w mianowniku znajduje się ułamek stopnia parzystego, to całe wyrażenie musi być większe od zera (nie istnieje pierwiastek z liczby ujemnej w zbiorze liczb rzeczywistych). Możemy zatem zapisać:
[tex]x-6 > 0\\\boxed{x > 6}[/tex]
Wobec czego:
[tex]x\in(6;+\infty)[/tex]
Więc dziedziną naszej funkcji jest:
[tex]\Huge \boxed{D:\ x\in (6;+\infty)}[/tex]
Podpunkt b
[tex]\Large \boxed{y=\log_{3x+1}(2x+4)}[/tex]
Nasz funkcja to funkcja logarytmiczna z niewiadomą "x" w podstawie. Aby określić dziedzinę takiej funkcji, musimy rozważyć trzy warunki, a następnie wziąć część wspólną:
[tex]3x+1\neq 1\\3x\neq 0\ /:3\\\boxed{x\neq0 }[/tex]
[tex]3x+1 > 0\\3x > -1\ /:3\\x > -\frac{1}{3}\\\\\boxed{x\in(-\frac{1}{3};+\infty) }[/tex]
[tex]2x+4 > 0\\2x > -4\ /:2\\x > -2\\\\\boxed{x\in(-2;+\infty)}[/tex]
Uwzględniając wszystkie 3 warunki, dziedziną tej funkcji będzie ich część wspólna, a zatem:
[tex]\Huge \boxed{D: x\in(-\frac{1}{3};0)\ \cup \ (0;+\infty) }[/tex]
